Известны три стороны треугольника, равные 7, 11 и 12 см. Найдите приближённо наименьшую высоту треугольника, считая, что корень из 10 равен 3, 16.

Построим прямоугольный треугольник с циркуля и линейки. Случай, когда данные стороны равны, рассматривать не будем, ибо в таком случае одна из них не может быть равна катету, а другая — гипотенузе.

1. На большей стороне (гипотенузе, назовём её b) построим две окружности с центрами в концах отрезков и радиусом b. Проведём прямую через точки пересечения окружностей. Она будет пересекать гипотенузу в середине в силу симметричности чертежа.

2. Построим окружность с центром в середине гипотенузы и радиусом b / 2. Тогда эта окружность будет содержать концы отрезка, который будет являться для неё диаметром.

3. Построим окружность с центром в одном из концов гипотенузы (не теряя общности — в левом конце) и радиусом, равному меньшей стороне (катету, назовём его a). Отметим точку пересечения с окружностью, построенной в п. 2.

4. Проведём отрезок, соединяющий правый конец гипотенузы и точку пересечения окружностей (см. п. 3). Полученный треугольник (выделен на рисунке) будет прямоугольным, так как он вписан в окружность, один из его углов опирается на диаметр, то есть угол прямой.

1. Берем цмркулем гипотенузу и делим ее пополам (надеюсь как делить пополам отрезок с циркуля и линейки не  надо рассказывать)

2. Половиной гипотенузы строим окружность.

3. Берем произвольную точку К и проводим через О луч до пересечения с окружностью L. KL будет диаметром и одновременно гипотенузой искомого треугольника.

4. Далее берем циркулем наш катет. Ставим остриё в т.К и делаем засечку на нашей окружности т.М. КМ это наш катет.

Полученный треугольник прямоугольный с искомыми катетом и гипотенузой.