В треугольнике ABC известно, что ∠C=90°, ∠B=30°. Из точки A провели биссектрисуAK. Найдите отрезок AK, если CK=10 см

Даны треугольники АВС и А1В1С1 в которых стороны АС и А1С1, высоты ВН и В1Н1 и медианы ВМ и В1М1 равны.

Прямоугольные треугольники НВМ и Н1В1М1 равны по 4-му признаку равенства, так как у них гипотенузы (ВМ и В1М1) и катеты (ВН и В1Н1) равны (дано).  => HM=H1M1 и <BMH=<B1M1H1. Значит равны и углы ВМС и В1М1С1 как смежные с равными.

АМ=МС=А1М1=М1С1 как половины равных отрезков АС и А1С1.

Треугольники АВМ и А1В1М1 равны по двум сторонам (АМ=А1М1, ВМ=В1М1) и углу между ними (<BMH=<B1M1H1 - доказано выше)  => АВ = А1В1.

Треугольники ВМС и В1М1С1 равны по двум сторонам (МС=М1С1, ВМ=В1М1) и углу между ними (<BMС=<B1M1С1 - доказано выше)  => ВС = В1С1.

Тогда треугольники АВС и А1В1С1 равны по трем сторонам, что и требовалось доказать.

а) Любой прямоугольный треугольник можно разрезать на два равнобедренных треугольника.

Верно.

В любом прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине (см. рисунок). Если разрезать треугольник по медиане, то получим два равнобедренных треугольника.

б) Существует четырехугольник со сторонами 2, 3, 5, 11.

Неверно.

Каждая сторона четырехугольника должна быть меньше суммы остальных его сторон.  

В данном четырехугольнике для стороны 11:  

11 < 5 + 3 + 2 - неравенство неверно, значит четырехугольник с такими сторонами не существует.

в) В любом выпуклом пятиугольнике всегда есть тупой угол.

Верно.

Сумма углов выпуклого многоугольника определяется по формуле:

180°(n - 2), где n - количество сторон.

Для пятиугольника:

180° · 3 = 540°.

Если предположить, что все его углы острые (меньше 90°), то сумма будет меньше 90° · 5 = 450°. Значит есть тупой угол.

г) Внутри любого треугольника существует точка, равноудаленная  от всех его вершин.

Неверно.

Точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, - это центр описанной окружности.

Только в остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри треугольника. В прямоугольном - на стороне (середина гипотенузы). В тупоугольном - вне треугольника.