В прямоугольном треуг. АВС с прямым углом С проведена биссектрисаАК.Внешний угол при вершине В равен 135градусов.Найдите углы треуг. АКВ. РЕШЕНИЕ

Объяснение:

Дано: треуг ACB-прямоуг. 

AD-биссектриса

угол D в треуг ADB=110°

Найти: внешний угол В

Рассмотрим треуг DCA и треуг ACD 

угол CAD = угол DAB (т.к. AD - биссектриса)

угол D в треуг ADB=110°

угол D в треуг ACD = 180-110=70°  (как смежные)

угол А в треуг CAD=180-(90+70) = 20°   ⇒

рассмотрим треуг ADB

угол D=110°

угол А=20° (биссектриса делит угол А пополам)

угол B=180-(110+20) = 50°  ⇒

внешний угол B= 180-50 = 130°

Раз AB - диаметр, то треугольник прямоугольный. Таким образом угол С = 90°.
Теперь, если обозначить центр описанной окружности О, то треугольники OBC и OCA равнобедренные (с длиной равных бедер равных радиусу окружности). Рассмотрим  OBC с известным углом при вершине О равным 68°. Очевидно, его углы при основании будут равны (180° - 68°)/2  = 112/2 = 56°. То есть один углов (угол CBA или B) в нашем исходном прямоугольном треугольнике равен 56°. А второй угол (при вершине A) будет равен 90° - 56° = 34°

Если разбить этот четырехугольник на 4 треугольника с вершинами в центре окружности, то площадь четырехугольника S получится равной сумме площадей этих четырех треугольников - причем их высоты одинаковы и равны радиусу вписанной окружности: S = h*|AB|/2 + h*|BC|/2 + h*|CD|/2 + h*|DA|/2 или  S = h*(|AB| + |BC| + |CD| + |DA|)/2. То есть площадь равна произведению радиуса окружности на половину периметра. Нетрудно показать, для четырехугольника с вписанной окружностью верно следующее соотношение: |AB| + |BC| + |CD| + |DA| = (|AB| + |CD|)*2 = (|BC| + |DA|)*2, то есть S = h*(|AB| + |CD|) = h*(|BC| + |DA|) = 6*28 = 168 кв. см