В треугольнике ABC угол B - прямой. Из вершины угла C проведена биссектриса СС1=16 так, что BC1=8. Найдите длину AB.

Центр описанной окружности треугольника лежит в точке пересечения его срединных перпендикуляров. Срединные перпендикуляры равностороннего треугольника - его высоты.
Следовательно, радиус описанной окружности для равностороннего треугольника – точка пересечения его высот. Высоты правильного треугольника еще биссектрисы и медианы, и все они пересекаются в одной точке. 
Точка пересечения медиан треугольника ( любого) делит их в отношении 2:1, считая от вершины. 
Отсюда: радиус описанной окружности равностороннего треугольника равен 2/3 его высоты.
Все углы равностороннего треугольника равны 60°
h=2√3•sin60°=2√3•√3/2=3⇒
R=3•2/3=2
-------
По т.синусов получим тот же результат. 

а) Пусть МО - высота пирамиды, МК, МН и МР - высоты боковых граней.

МК = МН = МР = 41 см по условию,

∠МОК = ∠МОН = ∠МОР = 90°, так как МО высота пирамиды,

МО - общий катет для треугольников МОК, МОН и МОР, значит эти треугольники равны по гипотенузе и катету, следовательно

ОК = ОН = ОР.

МК⊥АВ, ОК - проекция наклонной МК на плоскость АВС, значит

ОК⊥АВ по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

МН⊥ВС, ОН - проекция наклонной МН на плоскость АВС, значит

ОН⊥ВС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

Аналогично, ОР⊥АС.

Тогда ОК, ОН и ОР - расстояния от точки О до соответствующих сторон.

Так как отрезки ОК, ОН и ОР равны, то точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, значит это центр вписанной в треугольник окружности.

б)

Рассмотрим треугольник МОК:

по теореме Пифагора

ОК = √(МК² - МО²) = √(41² - 40²) = √((41 - 40)(41 + 40)) =

= √(1 · 81) = 9 см - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Sabc = pr, где р - полупериметр ΔАВС.

Sabc = 42/2 · 9 = 21 · 9 = 189 см²