1.По данным рисунка найдите углы 1 и 2, если m II n и 2 в 4 раза больше 1. m n c 1 2 2. В треугольнике СОМ внутренний угол при вершине С равен 54°, а внутренний угол при вершине М равен 65°. Найдите внешний угол при вершине О.3. В треугольнике СКМ проведена биссектриса КЕ, С=60°, М=40°. 1) Докажите, что треугольник КЕМ равнобедренный;2) Сравните отрезки КС и КМ.4. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны 7см и 3 см.5.В прямоугольном треугольнике АВС А =60°, С=90°, АВ=6см. Найти АС.6. 1 меньше  КВА в 2 раза. Найти углы треугольника АСВ, если  КВА=60°. К В 1 А 120° С​

На мой взгляд самый быстрый построить угол 30 градусов с линейки и циркуля состоит в следующем:

проводим горизонтальную линию, ставим на нее в произвольной точке циркуль и проводим окружность. В точке, где окружность пересекла линию (например справа) опять ставим циркуль и проводим еще одну такую же окружность. Проводим линию через центр первой окружности и точку пересечения окружностей (красная линия) и проводим линию через точки пересечения окружностей (зеленая линия). Острый угол между красной и зеленой линиями равен 30 градусам.

Я тоже тут отмечусь, уж простите :)
Треугольник ABC, стороны (противолежащие углам) a, b, c,
Точка K делит сторону BC = a на отрезки CK = x и BK = a - x;
Точка M делит сторону AC = b на отрезки AM = y и CM = b - y;
Точка N делит сторону AB = c на отрезки BC = z и AC = c - z;
Получается из условия деления периметра пополам
b + x = c + a - x; x = (c + a - b)/2 = p - b; CK = p - b;
где p - полупериметр ABC; p  = (a + b + c)/2;
a - x = BK = p - c;
Аналогично
AM = p - c; CM = p - a;
BN = p - a; AN = p  - b;
То есть AN*BK*CM/(BN*AM*CK) = (p - b)*(p - c)*(p - a)/((p - a)*(p - c)*(p - b)) = 1;
Остается сослаться на обратную теорему Чевы.