Окружность, вписанная в треугольник KMN, касается его сторон в точках D, B и P. Найдите углы треугольника KMN, если углы треугольника DBP равны 60°, 72° и 48°.

ответ: 36, 84 и 60

Объяснение:  

DM=MB, KD=KP, NP=NB.

Рассмотрим треу-ки DMB, KDP, BPN.

Угол DPB - вписанный, поэтому равен половине дуги.

Угол MDB - образован хордой и касательной.

Угол DPB= углу MDB= углу MBD= 72 градуса

Сумма углов треугольника = 180 градусов.

Найдем углы треугольника KMN:

Угол KMN= 180 - угол MBD - угол MDB= 180-72-72= 36

Аналогично, из треугольников KDP и PBN получаем,

угол MKN=84, угол KNM=60

ответ: 36, 84 и 60.

Четырехугольник АВСД. длина диагонали АС=5 см, длина диагонали ВД =8 см. 
ΔАСД, отрезок соединяющий середины сторон АД и СД - средняя линия треугольника, =5:2=2,5 см
ΔАВС, отрезок, соединяющий середины сторон АВ и ВС - средняя линия Δ, =2,5 см
ΔДАВ, отрезок, соединяющий середины сторон АД и АВ - средняя линия Δ, =8:2=4см, 
ΔВСД, аналогично средняя линия =4 см
получили параллелограмм(средняя линия параллельна основанию, т.е. диагонали четырехугольника) со сторонами 2,5 см и 4 см
P=(a+b)*2
P=(2,5+4)*2
P=13 cм

Параллелограмм АВСД (АВ=СД и ВС=АД), диагонали АС/ВД=33 пересекаются в точке О
Ромб КМНР (КМ=МН=НР=РК), стороны КМ||AC||РH KР||BД||МН.
Обозначим угол между диагоналями ∠АОВ=∠СОД=α
Площадь параллелограмма Sп=АС*ВД*sin α/2=33ВД²*sin α /2.
Т.к. по условию стороны ромба параллельны диагоналям, то ромб разделен на 4 маленьких параллелограмма, а значит противоположные углы равны ∠К=α.
Рассмотрим ΔABД и ΔАКР:
∠КАР - общий и ∠АКР=∠АВД (как соответственные углы для параллельных прямых КР и ВД с секущей АВ)
Следовательно, ΔABД и ΔАКР подобны по первому признаку подобия: 
КР/ВД=АР/АД.
Аналогично подобны ΔАСД и ΔРНД (∠РДН - общий и ∠ДРН=∠ДАС как соответственные).
РН/АС=РД/АД
КР/ВД+РН/АС=АР/АД+РД/АД.
Т.к. КР=РН и АР+РД=АД, АС=33ВД, то
КР/ВД+КР/33ВД=(АР+РД)/АД
(33КР+КР)/33ВД=1
КР=33ВД/34
Площадь ромба Sр=КР²*sin α=(33ВД)²*sin α/34².
Отношение площадей:
Sр/Sп=(33ВД)²*sin α/34² / 33ВД²*sin α /2=66/34²=33/578

.