На рисунке(стр.40) p - касательная , А-точка касания, r-радиум окружности, p перпендикулярен r. Этот рисунок демонстрирует:1)определение касательной2) определение секущей3)взаимное расположение r и p4) свойства отрезков касательных5) теорему о свойстве касательной к окружности​

Указанные углы  равны как внутренние накпест лежащие. И  углы деленные бессектрисой. Откуда  треугольник ABK  Равнобедренный. (то его  бессектриса и нго  высота)
 опусуаем вс перпендикуляры. Откуда египетский  прямоугольный треугольник и высота равна 3.
Далее чтобы не находить  половинный угол  сделаем элегантное  построение продолжив нижнее основание  и опустив высоту в точку k 
Откуда по  теореме пифагора AK=sqrt(9+81)=sqrt(90)
Тк бессектриса и медиана  то  по теореме пифагора ищем нашу бессектрису: x=sqrt(25-90/4)=sqrt(10)/2
ответ:sqrt(10)/2

 . Сумма всех плоских углов всех граней тетраэдра равна сумме углов четырёх треугольников, т. е. 720o, поэтому, если суммы углов при каждой вершине равны, то каждая из этих сумм равна 180o . Обратное: ( – очевидно.  . Если R – радиус описанной около тетраэдра сферы, r – радиус вписанной сферы и центры этих сфер совпадают (рис. 1), то точка касания сферы с каждой гранью лежит лежит внутри этой грани и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние, т. е. является центром описанной около этого треугольника окружности радиуса .

(8) (4) . В любом тетраэдре перпендикуляры, опущенные из центра O описанной сферы на грани (рис. 1), попадают в центры описанных окружностей, и если радиусы этих окружностей равны R1, то точка O одинаково удалена от всех граней (на расстояние ), а т. к. все грани – остроугольные треугольники, то O – центр вписанной сферы.

( . Если радиусы описанных окружностей граней ABC и DBC тетраэдра ABCD равны, то BAC = BDC, поскольку эти углы острые и опираются на равные дуги BC в равных окружностях (рис. 2). Аналогично для всех пар смежных граней. Таким образом,

BDC + CDA + ADB = BAC+ CBA + ACB = 180o.