Определите, на какой угол, отличный от нулевого, нужно повернуть прямую вокруг точки, не принадлежащей этой прямой, чтобы получить прямую, параллельную исходной.

чтобы получить прямую, параллельную исходной, надо повернуть на 180 градусов.

                       •

1)  и 2) выртуальные
3)
<B +<D =90° (вписанный угол опирающийся на диаметр окружности равен 90). 
 <BCA =<DCA =30° (AB=AC/2  катет =1/2*(длины гипотенузы) ⇒ угол  =30°).
⇒<BCD = 60 °.
<BAC =<DAC = 90° -30° =60° ⇒<BAD =120° .
 <BAD можно и другим путем  :
  <BAD+ <BCD =180°   ; <BAD =180° -<BCD =180° -60° =120°  .

Дуги   AB =60°  (<BAC =дугаAB/2 ⇒дугаAB =2*<BAC =2* 30°=60°) ;
           BC =2* 60° =120° ;
           CD =2* 60° =120° ;
           AD = 2*30° =60°.  
4)Пусть  AB = 18 см ;CA=CB =15 см. 

r==>? ; R==>?
r =S/p  где  p - полупериметр треугольника: p= (a + b + c)/2.
R=a*b*c/4S.
Проведем высоту  из вершины C:   CH ┴  AB ; H∈[AB] ; AH =BH=AB/2 =18 см/2 =9 см.   
Из ΔCHA   по теореме Пифагора  : CH =√(AC² -AH²) =√(15² -9²) =12 (см) .  
* * *  AH =3 *3 ; CH =3 *4 ; CA =3 *5 * * *
S =1/2*AB*CH =AH*CH =9*12 =108  (см²);
r =S/p =108/(15+15+18)/2) =108/(15+9) =108/24 =9*12/2*12 =9/2 =4 1/2 , иначе 4, 5 (см)
R =15*15*18/(4*108) = 15*15*2*9/(4*12*9)=75/8 =9 3/8 ,  иначе  9,375 (см) .
ответ  : 4, 5 см   9,375 см .

Вычисление площади можно было сразу по формуле Герона :
S =√p(p-a)(p-b)(p-c) =√24*(24 -15)(24-15)(24 -18) =√4*6*9*9*6 =2*6*9 =108 , а
для  r и R не использовать готовые формулы как выше  

Пусть точка касания двух окружностей  К , эта одна из вершин ,  две другие
  A∈(O₁;R₁) , B ∈ (O₂;R₂) .
Длина стороны правильного треугольника  обозначаем через  x (KA=KB=AB =x).
Из ΔO₁KA :    x = 2R₁cosα  ;
Из ΔO₂KB:     x =2R₂cosβ ;
2R₁cosα =2R₂cosβ  , но  α+β +60° =180° ⇒ β =120° -α .
R₁cosα = R₂cos(120° -α) ;
14cosα =77(cos120°cosα +sin120°sinα) ;
2cosα = 11( -cosα/2 +√3/2*sinα) ;
4cosα = -11cosα+11√3*sinα ;
15cosα =11√3sinα ;
tqα =5√3/11 ⇒ cosα= 1/√(1+tq²α) =1/√(1+(5√3/11)²) =1/√((121+75)/11²) =11/14.
окончательно  :
x = 2R₁cosα =2*14*11/14 =22.
ответ:   22.