Через конец А хорды АВ окружности с центром О проведена касательная АС. Найти угол ВАС, если угол АОВ=70 градусов.

диагональ основания = а√2, а  - сторона основания

пусть диагональ основания  - х

сторона основания  а√2 = х, а = х√2/2

высота она же апофема равна х/2

тогда угол между несмежными боковыми гранями найдем из равнобедренного треугольника с боковыми сторона (апофемами) х/2

а основание есть сторона основания - х√2/2

отметим угол между плоскостями т.е между апофемами как "α"

опустим высоту в этом треугольника, которая будет делить этот треугольника на 2 равных прямоугольных ..из одного из них найдем sin α/2

sin α/2 = x√2/4 : х/2

sin α/2 = √2/2 т.е 45 градусов

тогда угол α = 90 градусов

1.Из теоремы косинусов находим косинус угла между заданными сторонами x.

10^2 + 12^2 - 2*12*10*x = 34; x = 7/8;

Теперь найдем третью сторону

10^2 + 24^2 - 2*24*10*(7/8) = 256; то есть третья сторона 16.

ПОЛУпериметр треугольника со сторонами 10,16,24 равен 25.

Находим площадь по формуле Герона. 25 - 10 = 15, 25 - 16 = 9, 25 - 24 =1,

корень(25*15*9*1) = 15*корень(15); делим это на полупериметр 25, получаем радиус вписанной окружности r = 3*корень(15)/5.

2. x + y = 12;

    x + z = 9;

    z + y = 6;

x - y = 3; 2*x = 15, x = 7/2, y = 9/2, z = 3/2;

3. Здесь есть волшебное построение :)) надо провести через вершину меньшего основания прямую II диагонали, которая не содержит эту вершину, а соединяет две других. Большое основание тоже надо продолжить, пока эти прямые не пересекутся. Получится треугольник, у которого сторона, являющаяся продолжением большого основания трапеции, равна сумме оснований трапеции, а  две другие стороны - диагонали трапеции. Поскольку нам задано, что это получился прямоугольный треугольник со сторонами 12 и 16, то гипотенуза этого треугольника 20 (тр-к подобен "египетскому" 3,4,5), а средняя линяя трапеции 10.