В ∆ ABC из середины стороны AC восстановлен перпендикуляр, пересекающий сторону AB в точке K. Найдите стороны ВС и AC, если ∠ AKC = 90°, AB = 3, 5, а AK : KB = 4 : 3. Численный ответ введите с точностью до второго знака после запятой.

Добрый день, уважаемый школьник!
Давайте разберём эту задачу пошагово, чтобы ответ был для вас понятным.

1) Согласно условию, в треугольнике ABC из середины стороны AC восстановлен перпендикуляр, который пересекает сторону AB в точке K.

2) Обозначим сторону BC как х, а сторону АС как у.

3) Заметим, что ∆AKB подобен ∆KC, так как угол АKВ и угол K одинаковые и ∆AKB также прямоугольный (так как ∠AKC = 90°).

4) Используем известное отношение для подобных треугольников: соотношение длины сторон одного треугольника к сторонам другого треугольника равно соответствующему соотношению длин.

5) Возьмем соотношение углов ∆AKB и ∆KC: AK/BK = KC/CB.

6) Заметим, что AK + BK = AB (по определению условия задачи), а AK/BK = 4/3 (также из условия задачи).

7) Заменим AK в нашем соотношении: (AB - BK)/BK = 4/3.

8) Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну часть уравнения: AB/BK - 1 = 4/3.

9) Найдём BK: BK = AB / (1 + 4/3).

10) Упростим выражение, добавив числители: BK = AB / (7/3).

11) Упростим дробь: BK = 3AB / 7.

12) Так как AK + BK = AB, найдём AK: AK = AB - BK.

13) Заменим BK в выражении: AK = AB - 3AB / 7.

14) Упростим формулу: AK = (7AB - 3AB) / 7.

15) Упростим числитель: AK = 4AB / 7.

16) Таким образом, мы нашли соотношения сторон треугольника ABK: AK = 4AB / 7 и BK = 3AB / 7.

17) Далее, воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника AKC: AC^2 = AK^2 + KC^2.

18) Знаем, что AK = 4AB / 7 и KC = AB - BK.

19) Заменим значения в формуле: AC^2 = (4AB / 7)^2 + (AB - 3AB / 7)^2.

20) Возводим в квадрат и раскрываем скобки: AC^2 = 16AB^2 / 49 + (AB - 9AB / 49)^2.

21) Сокращаем дроби и складываем слагаемые: AC^2 = 16AB^2 / 49 + (40AB/49)^2.

22) Упростим выражение, перемножив числители: AC^2 = (16AB^2 + 1600AB^2 / 49) / 49.

23) Упростим числитель: AC^2 = (784AB^2 / 49) / 49.

24) Сокращаем дроби: AC^2 = 16AB^2 / 49.

25) Извлекаем квадратный корень: AC = sqrt(16AB^2 / 49).

26) Упростим корень: AC = (4AB / 7) * sqrt(1/49).

27) Заменяем AK на 4AB / 7 в формуле: AC = (4AB / 7) * 1/7.

28) Далее, нам дано, что AB = 3,5. Подставим это значение: AC = (4 * 3,5 / 7) * 1/7.

29) Упростим выражение: AC = (14 / 7) * 1/7.

30) Умножим числители: AC = 14 / 49.

31) Получили численный ответ: AC = 0,2857 (округлим до второго знака после запятой).

32) Также нам требуется найти значение стороны BC. Вспомним, что BC = AB - BK.

33) Заменим значения в формуле: BC = AB - 3AB / 7.

34) Упростим выражение: BC = (7AB - 3AB) / 7.

35) Упростим числитель: BC = 4AB / 7.

36) Подставим AB = 3,5 в формулу: BC = 4 * 3,5 / 7.

37) Упростим выражение: BC = 14 / 7.

38) Получили численный ответ: BC = 2.

Таким образом, мы нашли значения сторон BC и AC треугольника ABC: BC = 2 и AC = 0,2857 (с округлением до второго знака после запятой).