Реши сам: Задача 2. По данным рисунка найдите угол АНМ, если НМ – касательная к окружности

Соединим точку А с центром окружности О.

Δ АОН- равнобедренный /АН=ОН по условию./ В нем же ОА=ОН, как радиусы одной окружности. ⇒Все стороны равны. Треугольник равносторонний. Значит, и все углы А, Н, О равны по 60°, т.к. сумма углов треугольника 180°.

По свойству радиуса, проведенного к касательной в точку касания, ОН⊥МН, значит, ∠АНМ=90°-∠АНО=90°-60°=30°

ответ ∠АНМ=30°

/пропускаю доказательство того, что центральный угол АОН равен 60°/

Угол между касательной и хордой, проходящих через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной в нем, а это дуга АН, на нее опирается центральный угол АОН, который равен 60°, а половина его равна 30°

ответ ∠АНМ=30°

 Точки А1 и В1 - середины сторон ∆ АСВ. Соединим их. В1А1 – срденяя линия ∆ АСВ и по свойству средней линии В1А1║ АВ.⇒

Четырехугольник АВ1А1В - трапеция, В1В и А1А - ее диагонали.  

Треугольники, образованные отрезками иагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.( свойство трапеции). 

Доказательство.  

Рассмотрим ∆ АВ1А1 и ∆ ВВ1А1.  У этих треугольников общее основание и высоты, равные высоте трапеции. 

Формула площади треугольника S=a•h/2, где а - сторона треугольника, h- высота, проведенная к ней. 

Если основания и высоты треугольников равны, их площади равны. 

 ∆ АВ1А1= ∆ АВ1О+∆ В1ОА1

 ∆ ВВ1А1= ∆ ВОА1+∆ В1ОА1 

Два треугольника с равной площадью состоят из частей, одна из которых - одна и та же. Следовательно, площади вторых частей этих треугольников равны. 

S ∆ АОВ1=S∆ ВОА1, ч.т.д. 

---------

Вариант – более короткое решение. 

Каждая медиана треугольника делят его на два равновеликих ( равные высоты и основания). 

 S∆ ВCВ1=S ∆ АСА1=S ∆ АВС:2

Сумма  площадей ∆ АОВ1+четырехугольника В1СА1О равна сумме площадей ∆ ВОА1+четырехугольника В1СА1О, равна половине площади ∆ АВС,  из чего следует равенство площадей треугольников АВ1О и А1ВО 

Докажу как смогу.
а) По определению, параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны и углы равны.
-у нас 4 точки. Значит это четырехугольник
-тангенс угла прямой АВ, DC (tgα===1). Угол = 45 градусов
 тангенс угла прямой ВС, АВ (tgα===-1). Угол = - 45 градусов.
Значит углы А , В, С и В (45+45) по 90 градусов.
- Стороны АВ, DC равны, так как =3√2
 стороны  ВС, АВ равны, так как =2√2
Что и требовалось доказать.
б) По определению, прямоугольник - четырехугольник у которого противоположные углы равны, а углы ВСЕ равны.
Ранее было доказано, что все углы по 90 градусов и противоположные стороны равны. Значит данный четырехугольник есть прямоугольник - частный случай параллелограмма.