Постройте прямоугольный треугольник по катету и прележащему к нему острому углу

Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. 
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2,  b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2   Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.                                                                                                      

По условию дано, что ОМ + ОР = 15 см. Пусть ОМ = х , тогда ОР = 15 - х.

Рассмотрим треугольники КОМ и КОР. Данные треугольники являются прямоугольными, так как КО - перпендикуляр к плоскости альфа.

По теореме Пифагора выразим общий катет (KO) треугольников КОМ и КОР:

1. В треугольнике КОМ:

КО^2 = 15^2 - OM^2

KO^2 = 225 - x^2

2. В треугольнике КОР:

КО^2 = (10sqrt3)^2 - OP^2

KO^2 = 100 * 3 - (15 - x)^2

KO^2 = 300 - (15 - x)^2

Из двух полученных значений КО^2 следует, что:

KO^2 = 225 - x^2 = 300 - (15 - x)^2

или

225 - x^2 = 300 - (15 - x)^2

Тогда x = 5 => OM = 5 (см)

Из треугольника КОМ выразима КО по теореме Пифагора, т.е.:

КО = sqrt (225 – 25) = sqrt 200 = sqrt (100 * 2) = 10 sqrt 2

Далее, если нужно, выражаем это значение более подробно.

Для этого находим значение квадратного корня из двух и решаем:

Sqrt 2 ~ 1, 414 ~ 1, 4 => KO ~ 10 * 1,4 => KO ~ 14 (см)

ответ: 10 sqrt 2 (или 14 см).