Відстань від точки М що лежить на колі до центра О цього кола дорівнює 3 см. Точка В лежить на цьому колі. Чому дорівнює довжина відрізка ВО ?

Даны вершины треугольника: А(-4;1), В(4;2), С(-2;-2).

Задачу можно решить двумя

1 - геометрическим по теореме косинусов, найдя длины сторон,

2 - векторным.

Вектор АВ = (4-(-4); 2-1) = (8; 1). Модуль (длина) равен √(64 + 1) = √65.

Вектор АС = (-2-(-4); -2-1) = (2; -3). Модуль равен √(4 + 9) = √13.

cos A = (8*2 + 1*(-3))/(√65*√13) = 13/(13√5) = 1/√5 = √5/5.

Вектор BA = -AB = (-8; -1). Модуль (длина) равен √(64 + 1) = √65.

Вектор BC = (-2-4); -2-2) = (-6; -4). Модуль равен √(36 + 16) = √52.

cos B = (-8*-6 + -1*(-4))/(√65*√52) = 52/(26√5) = 2/√5 = 2√5/5.

Вектор CА = -AC = (-2; 3). Модуль (длина) равен √(4 + 9) = √13.

Вектор CB = -BC = (6; 4). Модуль равен √(36 + 16) = √52.

cos C = (-2*6 + 3*4)/(√13*√52) = 0/(2*13) = 0.

Угол С прямой. Это также видно по сумме квадратов сторон: 13+52 = 65.

1) Эту задачу можно решить двумя

1 - геометрическим,

2 - координатным.

1. АВ = √(8² + 10² - 2*8*10*cos(180-2*30)) = √(64 + 100 + 80) = √244 = 2√61.

Далее используем формулу определения длины медианы L.

L = (1/2)*√(2*8² + 2*10² - 244) = (1/2)√84 = √21.

2. Находим координаты точек А и В с учётом длины отрезков и углов.

А = (10*cos30; 10*sin30) = (5√3; 5).

B = (8*cos(-30); 8*sin(-30)) = (-4√3; 4).

Находим основание М медианы как середину АВ : М = (0,5√3; 4,5).

Вектор ОМ равен (0,5√3; 4,5).

Его длина - это длина медианы: |OM| = √((0,5√3)² + 4,5²) =√21.

2) Даны вершины треугольника А(3; 5), В(1; 3), С(4;4).

Расчет длин сторон    

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √8 ≈  2,828427125.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √10 ≈  3,16227766.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √2 ≈  1,414213562.

Периметр равен √8 +√10 +√2 ≈ 7,40492 .