Сумма ∠1 + ∠3 = 60˚, найдите ∠ 2. Сумма ∠2 + ∠3 = 60˚, найдите ∠ 1.

1. Угол 2 = 120

2. Угол 1 = 120

Объяснение:

Сумма углов равна 180 градусам. Следовательно, чтобы найти один из углов, нужно из 180 вычесть сумму данных углов.

Точку пересечения высот треугольника KLM обозначим - D.  Точку серединного перпендикуляра на сторону  DM  обозначим - E. Центр окружности вокруг Δ KLM- O.

Рассмотрим Δ KDM -равнобедренный,  явно претендующий на равносторонний.  Определяем центр окружности вокруг  Δ KDM. Проводим средний перпендикуляр треугольника. DO - одновременно является -выстой , биссектрисой и медианой, по условию данного  Δ KDM -равнобедренный. KE - средний перпендикуляр и пересекаются они в точке L-это и будет центр окружности  Δ KDM.

Рассмотрим Δ KEM и  Δ KED- равны по признаку (KE-общая, DE=EM, т.к. E-точка середины и Ŀ 90 гр между равными сторонами). Следовательно,  KE=KM вывод Δ KDM -равносторонний. Высота  Δ KDM   H=√36-9= 5 см. Вспомним соотношени высот в равностороннем  треугольнике 1/2 относительно точки их пересечения.Точка C переечение серединного перпендикуляра с стороной KM, и так LC=5/3, DL=2*5/3=10/3. R=10/3.

Рассмотрим углы образованный вокруг точки  L  их 6 и обазованные бисектрисами в равностореннем  Δ KDM они равны между собой 360/6=60гр, следовательно каждый из них 60 гр. Рассмотрим   Δ LOM он оказывается - тоже равносторонним.  Вывод радиус окружности Δ KDM равен радиусу окружности  Δ KLM и равен R=10/3. И ещё вывод что, "если известно, что на этой окружности лежит центр окружности" , то только тогда когда Δ KLM - равнобедренный.

Тут уже есть одно решение, однако, раз присуствует Пифагорова тройка, я предложу свое, немного - совсем чуть-чуть - нестандартное.

Заданный равнобедренный треугольник можно разрезать на два Пифагоровых со сторонами (5,12,13), проведя медиану-высоту-биссектрису к основанию. Действительно, половина основания 5, высота 12, поэтому боковая сторона 13. При этом мы нашли - заодно - и синус угла при основании, он равен 12/13. Отсюда получаем для радиуса описанной окружности

2*R*12/13 = 13; R = 169/24. 

Если такой не нравится (хотя не понятно, чем) - есть много получить эту величину. Например, можно провести препендикуляр к боковой стороне через вершину основания до пересечения с продолжением высоты-медианы-биссектрисы (то есть оси симметрии исходного треугольника). Расстояние между полученной точкой и вершиной треугольника (противолежащей основанию, отрезок оси симметрии) - это диаметр описанной окружности (поскольку вписанный прямой угол всегда опирается на диаметр). Поскольку при этом получился опять Пифагоров треугольник (точнее, ему подобный), то

D/13 = 13/12, то есть ответ будет таким же.

Найдем теперь радиус вписанной окружности. Для этого из центра ВПИСАННОЙ окружности проведем препендикуляр к боковой стороне. Отрезок от вершины до центра вписаной окружности это 12 - r, и получившийся треугольник, в котором этот отрезок - гипотенуза, а проведеный радиус - катет, опять подобен пифагоровому (5,12,13) (ну, просто у них угол общий :))

Получается r/(12 - r) = 5/13; откуда найдем r = 10/3;

Опять таки, если такой элегантный не нравится, в нашем распоряжеии есть и тупой :)

Считаем периметр 13*2 + 10 = 36 и площадь 10*12/2 = 60, r = 2*60/36 = 10/3; так мы не потратим ни одной извилины, но получим результат. Кому что нравится :))