В треугольник АВС со сторонами АВ=10 и ВС=8 вписана окружность с центром О. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. Найдите СК, если АС =9.

Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна всем прямым, лежащим на этой плоскости.

Следовательно угол АОВ=угол АОС=90°, значит ∆АОВ и ∆АОС – прямоугольные.

ВО+АС=3 см по условию. Пусть ВО=х, тогда АС=3–х.

В прямоугольном ∆АОВ по теореме Пифагора:

АВ²=АО²+ВО²

(√3)²=АО²+х²

АО²=3–х² (Ур 1)

По теореме Пифагора в прямоугольном ∆АОС:

АС²=ОС²+АО²

(3–х)²=2²+АО²

АО²=9–6х+х²–4

АО²=х²–6х+5 (Ур 2)

Подставим значение АО² из уравнения 1 в уравнение 2, получим:

3–х²=х²–6х+5

2х²–6х+2=0

х²–3х+1=0

Д=(–3)²–4*1*1=9–4=5

Тогда ВО=1,5+√1,25 или ВО=1,5–√1,25

Катет прямоугольного треугольника всегда меньше гипотенузы, то есть ВО<АВ

1,5+√1,25<√3

1,5+1,118<1,732

2,618<1,732

Неверно

1,5–√1,25<√3

1,5–1,118<1,732

0,382<1,732

Верно, следовательно ВО=1,5–√1,25 см.

Тогда АС=3–(1,5–√1,25)=3–1,5+√1,25=1,5+√1,25

ответ: ВО=1,5–√1,25 см, АС=1,5+√1,25 см.

Из ΔAMB  по теореме косинусов :
AB² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMB     (1) ;
Из ΔAMC :
AC² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMC ;
но cos∠AMC =cos(180° -∠AMB) = - cos∠AMB поэтому 
AC² =AM² +(BC/2)² +2AM*(BC/2)cos∠AMB   (2)  ;
 суммируем  (1) и  (2) получаем 
AB² +AC² =2AM² + BC²/2 ⇔4AM² =2AB² +2AC² -BC² ;
но  BC² =AB² +AC²- 2AB *AC*cosA  поэтому :
4AM²  =AB² +AC² + 2AB *AC*cosA. 

* * * 
Можно продолжать медиана  MD =AM   и  M соединить с вершинами 
B и C. Получится параллелограмм  ABDC , где верно
 2(AB²+AC²) = AD² +BC² ⇔2(AB²+AC²) = 4AM² +BC².

Для медианы CN :  4CN² =CB² +CA² +2CB*CA*cosC. Если ΔABC равнобедренный CB =AB ⇒∠C =∠A , то  4CN² =4AM²   или  CN =AM .