Решите хотя бы одну задачу, очень желательно с рисуноком! 1) В основании пирамиды лежит квадрат. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна её основанию, а две соседние с ней грани образуют с основанием двугранные углы по 30 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если её высота равна h. 2) Через вершину основания правильной четырехугольной пирамиды перпендикулярно противолежащему боковому ребру проведена плоскость. Найдите площадь получившегося сечения, если сторона основания равна a, боковое ребро b.

1 ) В основании пирамиды лежит квадрат. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна её основанию, а две соседние с ней грани образуют с основанием двугранные углы по 30 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если её высота равна h.

Дано: пирамида  PABCD  ; основание ABCD - квадрат

(APB) ⊥ (ABCD)   ; (APD) ^(ABCD) = (BPC) ^(ABCD)  =30°

PM ⊥(ABCD)  ( M -основание иысоты)

PM = h  

S пол - ?

Обозначаем    AB = BC = CD =DA = a

AD ⊥ AM ⇒ AD ⊥AP  (теореме 3-х перпендикуляров)

∠PAM =30°   линейный угол двугранного угла  PADC

анологично :

∠PBM =30°   линейный угол двугранного угла  PBCD

→ BC ⊥ BM ⇒ BC ⊥BP  (теореме 3-х перпендикуляров)

ΔPAM = ΔPBM (общий катет PM и   ∠PAM =∠PBM= 30° острый угол)

⇒PA =PB ; Прямоугольные   Δ PAD = Δ PBC  (по двум  катетам)

из ΔAMP:   PM = AP/2 (как катет леж. против угла 30°)

AP =2*PM =2h   и   AM =√3 h .   a = AB =2*AM =2√3 h  .

PD =√(AP² +AD²) =√( (2h)² + (2√3 h)² ) = √ (4h² + 12h²) =√16h² =4h

PN =√(PD² - DN²) =√(PD² - AM²) = √ (16h² - 3h²) =√13 h

S пол =Sосн + S бок = S(ABCD) + [S(APB) +S(APD)+ S(BPC) +S(DPC) ] =

= S(ABCD) +S(APB) +2S(APD)+ S(DPC) =

a² +(1/2)*AB*PM + 2S(APD) +(1/2)*DC*PN  =

= a² +(1/2)*a*h + 2a*PA/2+(1/2)*a*PN =   || a =2√3h , PA =2h , PN =√13 h ||  =

=(2√3 h)² +√3 h² +2√3 h*2h +√3*√13 h² =( 12 +5√3 +√39) h²  

ответ:  S пол = ( 12 +5√3 +√39) h² .

Объяснение:

ЗАДАЧА 6

ДАНО: ∆АВС прямоугольный, <С=90°, <А=60°, АС=4

НАЙТИ: АВ

РЕШЕНИЕ: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, поэтому <В=90–60=30°

Катет АС, лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому гипотенуза АВ=2×4=8

ОТВЕТ: АВ=8

ЗАДАЧА 7

ДАНО: ∆АВС - прямоугольный, <С=90°, АС=ВС, СД=6

НАЙТИ: АВ

Если АС=ВС, то этот треугольник равнобедренный, а высота СД, проведённая из вершины прямого угла также является медианой и биссектрисой, а медиана, проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, поэтому СД=½АВ или АВ =2СД=2×6=12

ОТВЕТ: АВ=12

ЗАДАЧА 8

ДАНО: ∆ АВС - прямоугольный, <А:<В=2:1, АВ=14, <С=90°

НАЙТИ: АС

РЕШЕНИЕ: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°. Обозначим пропорции 2:1 как 2х и х и составим уравнение:

2х+х=90

3х=90

х=90÷3=30°

Итак: угол В=30°, тогда угол А=2×30=60°

Так как АС лежит напротив угла 30°, то АС=½АВ=½×14=7

ОТВЕТ: АС=7

ЗАДАЧА 9

ДАНО: ∆АВС прямоугольный: <С=90°, АС=ВС=10, АМ=СМ, МР перпендикулярно АС.

НАЙТИ: МР

РЕШЕНИЕ: МР делит катет АС пополам, поэтому АМ=СМ=10÷2=5.

МР является средней линией ∆АВС и если МР перпендикулярно АС, тогда он будет параллелен ВС. По свойствам средней линии треугольника МР=½ВС=½×10=5.

Можно также использовать средней линии, так как она является средней линией в равнобедренном треугольнике, а наш треугольник АВС именно равнобедренный, то МР отсекает от ∆АВС треугольник АРМ подобный ∆АВС. Поэтому ∆АРМ также является равнобедренным, у которого катеты АМ=РМ=5

ЗАДАЧА 10

ДАНО: ∆АВС - прямоугольный, <С=90°, <А=30°, ВК - биссектриса <В=8

НАЙТИ: АС

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то <В в ∆АВС=90–30=60°. Поскольку ВК - биссектриса, то она делит <В пополам поэтому <СВК=<АВК=60÷2=30°

Рассмотрим ∆АВК. В нём <АВК=<А=30°, из чего следует что ∆АВК - равнобедренный, поэтому ВК=АК=8

Рассмотрим ∆СВК. Он прямоугольный, и ВС и СК - катеты, а ВК - гипотенуза. В нём <СВК=30°, а катет СК, лежащий напротив него равен половине гипотенузы ВК, поэтому СК=½×ВК=8÷2=4

Итак: АК=8, СК=4.

Тогда АС=СК+АК=4+8=12

ОТВЕТ: АС=12

Итак, нам дана площадь ΔACE равная 85.

∠AEC = ∠CED = 90

AE = ED

CE общая для ΔACE и ΔCED

Следовательно, треугольники ACE и CED равны, так как у них равны стороны и угол между ними. Следовательно, площадь AEC = CED = 85

Из формулы площади прямоугольного треугольника S = a*b/2 найдём AE:

AE = S*2/EC = 85 * 2 / 17 = 10

AE ║BC так как это трапеция. Опустим высоту из точки А на прямую BC. Получим прямоугольный треугольник AOB (представим его мысленно). Так вот, его площадь надо будет вычесть из площади прямоугольника AECO. Вычислим:

Площадь AOB = 17*(10-6)/2=34

Итак, общая площадь трапеции равна:

17*10 - 34 + 85 = 221

ответ: 221