Сторона YZ треугольника XYZ лежит в плоскости b.из ее вершины Х опущена высота ХА и перпендикуляр ХР к плоскости b. Докажите, что угол ХАР линейный угол двугранного угла XYZP

По свойству параллельных плоскостей:

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны. ⇒

FQ-линия пересечения искомой плоскости с верхним основанием призмы. FQ||AC

По условию СF:FD1=2:1 ⇒

СD1:FD1=3:1

FD1=6:3=2 

∆ FD1Q~∆ ADC – прямоугольные, их стороны параллельны. 

AC=AD:sin45°=6√2

Из подобия  ∆ FD1Q~∆ ADC  следует  ∠D1FQ=DCA=45°

FQ=FD1:sin45°=2√2

CFQA - равнобедренная трапеция. FP⊥AC, FP- высота 

Высота равнобедренной трапеции, проведенная из тупого угла, делит большее основание на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований, больший – их полусумме. 

СР=(АС-FQ):2=2√2

FC²=CF²+CC1*=17

Из прямоугольного ∆ СFP по т.Пияагора 

FP=√(CF²-CP²)=√(17-8)=3

S(CFQA)=FP•(FQ+AC):2=3•(2√2+6√2):2=12√2 (ед площади)

Шестиугольная пирамида КАВСДФЕ, К-вершина, О -центр основания, КО-высота=3*корень3, в основании правильный шестиугольник, состоящий из 6 правильных треугольников, треугольник АОЕ, АО=ОЕ=АЕ, проводим апофему КН на АЕ, уголКНО=60, треугольник КНО прямоугольный, ОН=КО*tg60=3*корень3*корень3=9 - высота треугольника АОЕ, АЕ=2*ОН*корень3/3=2*9*корень3/3=6*корень3, площадьАОЕ=АЕ в квадрате*корень3/4=108*корень3/4=27*корень3, площадьАВСДФЕ=площадьАОЕ*6=162*корень3, объем=1/3*площадь основания*КО=1/3*162*корень3*3*корень3=486