Окружность рисуется из одной точки на стороне и резца. Если внутренний участок резца равен 12, а длина стороны равна 8, то найдите длину внешнего участка резца?

Пусть равнобокая трапеция АВСD. Высота АН, проведенная из вершины тупого угла С, делит большее основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований, а меньший -  их полуразности.
Значит АН=16см, НD=АК=9см.
АС перпендикулярна СD, значит высота СН - высота из прямого угла и по ее свойствам равна:
СН=√(АН*НD) или СН=12см.
Пусть точка Р - точка пересечения высоты ВК с диагональю АС.
Тогда треугольник АРК подобен треугольнику АСН с коэффициентом подобия АК/АН=9/16.
Тогда РК/СН=9/16, отсюда РК=9*12/16=6и3/4см.
ВР=ВК-РК=12-6и3/4 = 5и1/4см.
ответ: отрезки 6и3/4; 5и1/4.

Если обозначить длину искомого отрезка за c, получим следующее равенство:
(a+c)*h/2 = (c+b)*(H-h)/2
где h - высота трапеции со сторонами a и c, H - высота исходной трапеции со сторонами a и b

с другой стороны, рассматривая подобные треугольники, нетрудно показать, то (b-a)/(с-a) = H/h, то есть H = h*(b-a)/(с-a)

подставим H в первое уравнение:
(a+c)*h/2 = (c+b)*(h*(b-a)/(с-a)-h)/2
из чего (выносом h) следует
(a+c) = (c+b)*((b-a)/(с-a)-1)
или приведением к общему знаменателю суммы в скобках
(a+c) = (c+b)*(b-a-с+a)/(с-a)
или
(с-a)*(a+c) = (c+b)*(b-с)
или
с^2 - a^2 = b^2 - с^2
или
2*с^2 = b^2 + a^2
или
с = корень((b^2 + a^2)/2) - длина промежуточного отрезка равна корню из суммы квадратов a и b деленной на два - или среднеквадратичное из длин оснований

например a = 8, b = 6, с = корень((64+36)/2) = корень(50)