Задача 1: ( доказательство первого свойства): Дано: АВС, т. М АВ, М – середина АВ, СМ = ВМ = МА Обозначим углы 1, А – 4, ВСМ – 2, АСМ – 3 Доказать: АВС – прямоугольный. Доказательство: 1 СВМ - р/б., значит, 1 = …, СМА – р/б., значит, 3 = … 2). 1 + 2 + 3 + 4 = , т.к. В + ВСА + А = (по теореме о сумме углов треугольника) 2 (2 + 3) = , 2 + 3 = …, т.е. ВСА = … Задача 2. Дано: АВС, С = , В = , т. М – середина АВ. Найти: МСА. Задача 3. Дано: АВС, С = , т. D – середина АС, отр. BD = AD = CD. Найти: А, АВС.

Отрезки средней линии трапеции являются средними линиями треугольников АВС и АСD, так как эти отрезки проходят через середину боковой стороны параллельно основанию. По свойствам средней линии имеем:
ВС=2*2=4 см, а АD=2*5=10 см.
Трапеция равнобедренная, значит высота ВН, проведенная у большему основанию, делит его на два отрезка, большй из которых равен полусумме оснований, а меньший - их полуразности.
Значит АН=(10-4):2=3 см. В прямоугольном треугольнике АВН катет АН равен половине гипотенузы АВ, следовательно, угол, против которого лежит этот катет (<ABH), равен 30° (свойство).
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, значит
<A=90°-30°=60°.
Углы трапеции, прилежащие к боковой стороне, в сумме равны 180°.
Значит угол В=180°-60°=120°.
Так как трапеция равнобедренная, углы при основаниях равны.
ответ: <A=<D=60°, <B=<C=120°.

Диагональ делит  трапецию на два треугольника с основаниями ВС и АД, длина которых вдвое больше средней линии каждого треугольника. Тогда ВС=4 см, АД=10 см. 
Проведем СР||АВ 
Противоположные стороны четырехугольника АВСР параллельны. 
АВСР - параллелограмм, ВС=АР=4 см, и СР=АВ=6 см
РД=АД-АР=10-4=6 см
Все стороны треугольника РСД равны. 
Треугольник РСД - равносторонний. 
Все углы равностороннего треугольника равны 60°.
∠ ВСР=∠ВАР=60°
∠ВСД=СВА=60°+60°=120°
Углы при каждом из оснований равнобедренной трапеции равны. 
Острые углы данной трапеции равны 60°, тупые - 120°.