Точка F лежит вне плоскости параллелограмма АВCD так, что FA= FC, FB=FD, точка O-точка пересечения диагоналей параллелограмма. Докажите, что прямая FO перпендикулярна плоскости параллелогрдмма АВСD. и вычислите длины диагоналей параллело- грамма, есди FO= 4 см, FA= 5 см, FВ= 6 см.​

Вот как делать рисунок :

В плоскости a возьмем произвольную точку О. Через точку О и прямые сначала AA1, затем BB1 проведем плоскости (прямая и точка определяют плоскость , причем только одну). Если две плокост имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, проходящую через эту точку. Пусть эти плоскости пересекли плоскость a по прямым a и b, как показано на рисунке. Можно заключить, что а || AA1 и b || BB1. Например, рассмотрим первую пару. Если бы прямая AA1 пересекала бы прямую а, то она бы имела общую точку с плоскостью a, чего быть не может, т.к. прямая AA1 параллельна плоскости альфа по данным. 
Вспомним, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны (признак параллельности плоскостей ). Поэтому плоскости альфа и плоскость треугольника АВС параллельны. 
Как известно, отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями равны. Другими словами в четырехугольнике ECBF стороны EC и BF – противоположны, параллельны и равны. 
Признак: если в четырехугольнике пара противоположных сторон равны и параллельны, то такой четырехугольник - параллелограмм.

Медиана - это отрезок прямой из вершины угла к стороне, который делит эту сторону на две равные части. 

Значит, в получившихся треугольниках основания равны половине гипотенузы. 

Высота у них одна и та же - из вершины прямого угла к основанию. 

В одном - остроугольном -  она внутри треугольника, во втором - тупоугольном- вне треугольника.

Площадь треугольника вычисляют по формуле

 S =аН

Основания в этих треугольниках равны, высота - общая.

Площади  этих треугольников  равны. Что  и требовалось доказать.