1 вариант. 1 В остроугольном треугольнике МNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причём ОК = 9 см. Найдите расстояние от точки О до прямой МN. 2). В треугольнике АВС углы А и С равны, ВD высота треугольника. Докажите, что треугольники АВD и СВD равны. 3). Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 0, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу. 4). В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120 0, а основание -12 см. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне.

Треугольник ADC = ABE.

Объяснение:

Треугольник ABD - равнобедренный, значит, угол ABD = ADB.

И в треугольнике углы ABD + ADB + BAD = 180°.

Но углы ABD + DBE + нижний B = 180°, причем ABD = ADB = нижнему B.

Отсюда BAD = DBE = 180°  - 2*ABD

При этом углы BAD = DAC, значит, ACD = DEB.

Следовательно, треугольники ADC и BDE подобны по трем углам.

Теперь рассмотрим треугольники ADC и ABE.

Стороны AB = AD, углы DAC = BAE, ACD = AEB, ADC = ABE.

Эти треугольники равны по стороне и двум углам, прилежащим к ней.

Всё!

По одному из свойств касательных, проведённых из одной точки, отмеченные лучи являются биссектрисами углов ∠CBА и ∠EDC соответственно; если углы ∠АВС и ∠CDЕ являются равными, то и образованные биссектрисами углы тоже равны (∠ЕDО=∠ОDС=∠СВО=∠ОВА); получаем ΔDОВ с равными углами ∠ОDВ=∠DВО; что значит, что ΔDОВ - равнобедренный; DO=ВО;

По свойству такого радиуса проведённый отрезок ОС будет перпендикулярен прямой ВD; те OC - высота ΔDOВ; по свойству равнобедренного треугольника OC является и медианой; значит, СD=СВ;

По свойству касательных, проведённых из одной точки, отрезки ВС, ВА и DC, DЕ касательных попарно равны (те ВС=ВА и DC=DЕ); мы доказали, что DС=ВС; значит, ВС=ВА=DC=DЕ, ч.и.т.д.

Обратные теоремы действенны - нужно доказать тоже самое, только в обратную сторону. Поэтому напишу вкратце.

Если АВ=ВС=CD=DЕ, то при ОС⊥ВD ОВ=ОD (св-ва р/б Δ); тогда при ∠ОDВ=∠DВО и биссектрисах DO и ВО (∠ЕDО=∠ОDС и ∠СВО=∠ОВА) ∠ЕDО=∠ОDС=∠СВО=∠ОВА, ч.и.т.д.