На рисунке 306 в треугольники ABD и CBD вписаны окружности с центрами О1 и О2 соответственно. Докажите, что угол О1DO2 прямой

Эта хорда является стороной правильного шестиугольника.Если концы хорды соединить с центром окружности, то получим правильный треугольник, у которого все углы равны 60 градусов.Дейтсвительно,центральный угол равен 60 градусам, а так как треугольник ещё и  равнобедренный (два радиуса являются сторонами этого треугольника), то он будет правильным (равносторонним). Таких центральных углов по 60 градусов будет 360:60=6. А значит получим правильный шестиугольник,внутренний угол которого равен 180*(n-2):6=180*(6-2):6=180*4:6=120.

Найти координаты вершины Д параллелограмма АВСД, если координаты трех других его вершин А(3;-4;7), В(-5;3;-2), С(1;2;-3)
В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам. Найдем координаты этой точки, разделив вектор АС пополам (сумма координат начала и конца, деленная пополам):
О(2;-1;2).
А теперь находим координаты вершины D, зная координаты начала вектора ВD (точки В) и его середины (точки О).
2=(Хd-5)/2, отсюда Хd=9.
-1=(Yd+3)/2, откуда Yd=-5.
2=(Zd-2)/2, отсюда Zd=6.
Итак, координаты вершины D равны D(9;-5;6).
ответ: D(9;-5;6).