Найдите длину катета, лежащего против угла α, если α = 60°, а гипотенуза равна 18 см.

сумма углов треугольника равна 180 градусов так как у нас дан один угол 90 градусов так как треугольник Прямоугольный И один угол 60 градусов То угол B будет равен 30 градусов То есть 180 - 90 + угол в 60 градусов

по свойства катета лежащего против угла в 30 градусов катет равен половине гипотенузы значит катет лежащий против угла B будет равен 9 Так как гипотенуза равна 18

По теореме Пифагора:

катет А=√18^2-9^2=9√3(см)

Сначала построим линию пересечения плоскости основания и плоскости А1С1Е. Это прямая а, параллельная отрезкам АС и А1С1  (смотри рисунок).
Высоту призмы находим ао Пифагору из треугольника: высота(катет)-сторона основания(катет)-диагональ грани(гипотенуза).
Высота призмы равна √(5²-4²)=3.
Диагональ ВЕ основания равна диаметру описанной вокруг правильного шестиугольника окружности, то есть ВЕ=2*4=8.  Тогда КЕ=6.
Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми РЕ и КЕ, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии а пересечения плоскостей. В прямоугольном треугольнике РКЕ тангенс искомого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: РК/КЕ=3/6=1/2.
ответ: искомый угол равен arctg(0,5).
Вариант2 (координатный).
Введем систему координат X,Y,Z с началом координат в точке С.
Находим по Пифагору отрезок СК=С1Р=√(16-4)=2√3.
Получаем координаты точек: Р(0;3;2√3), К(0;0;2√3), E(6;0;2√3). Вычисляем
координаты векторов (от координат КОНЦА отнять соответствующие координаты НАЧАЛА) РE{6;-3;0} и KE{6;0;0}.
Найдем угол между векторами РЕ и КЕ по формуле
cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)]
cosα=(36+0+0)/[√(36+9+0)*√(36+0+0)]=36/18√5 = 2/√5.
ответ: искомый угол равен arccos(2/√5).
Но если нужен ответ через тангенс, найдем его. Sinα=√(1-cos²α) = 1/√5.
Тогда tgα=Sinα/Cosα =1/2.
ответ: искомый угол равен arctg(0,5).
Вариант3. Еще более усложним решение (по условию задающего).
Введем систему координат X,Y,Z с началом координат в точке С.
Тогда получаем координаты точек: А1(0;3;4√3),  C1(0;3;0), E(6;0;2√3).
Общее уравнение плоскости имеет вид Ax+By+Cz+D=0.
Уравнение плоскости основания Х0Z имеет вид: Y=0.
Уравнение плоскости А1С1Е (она параллельна координатной оси 0Z) имеет вид: Ax+By+D=0. 
Составим уравнение плоскости по трем точкам, используя формулу:
|x-0      0-0        6-0       |                       |   x-0     0      6      |
|y-3      3-3        0-3       |  =  0.     Или    |   y-3      0     -3    |  = 0.
|z-4√3  0-4√3   2√3-4√3 |                       | z-4√3  -4√3  -2√3 |
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
         |  0    -3   |              |   0     6   |                 | 0     6 |
(x-0)* |-4√3 -2√3|  -  (y-3)* |-4√3 -2√3 | +  (z-4√3)*| 0    -3 | =0. 

Отсюда 12√3*(x-0)-24√3*(y-3)+0*(z-4√3)=0. 12√3*x-24√3*y+72√3=0 или x-2y+6=0.
Это и есть уравнение плоскости А1С1Е.
Если плоскость задана общим уравнением x-2y+6=0, то вектор n1{1;-2;0} является вектором нормали данной плоскости.
Вектором нормали плоскости основания является вектор n2{0;1;0}.
Угол между плоскостями можно найти через угол между нормальными векторами данных плоскостей.
cosα=(0-2+0)/[√(1+4+0)*√(0+1+0)]  или cosα=-2/√5.
Получили ТУПОЙ угол, но поскольку плоскости при пересечении образуют две пары вертикальных углов, за угол между плоскостями обычно принимают острый угол, поэтому принимаем  cosα=2/√5 (так как
cos(180-α)=-cosα).
ответ, как и во втором варианте:
искомый угол равен arccos(2/√5) или arctg(0,5).

Відповідь:

Пояснення:

Пусть О-точка пересечения диагоналей

А1, В1, С1, Д1, О1 проекции соответствующих вершин и точки пересечения на плоскость

Пусть АА1=45; ДД1=61 и ОО1=51

Сделаем паралельний перенос паралепипеда таким образом, чтоби одна вершина, с наименьшим растоянием к плоскости, ледала на плоскости А1

Тогда рассмотрим △А1С~С1, прямая О~О1 - средняя линия етого △, так как при любой проекции сохраняются соотношение паралельних прямих, → С~С1=2О~О1

О~О1=ОО1-АА1=6 → С~С1=12 → СС1=АА1+12=57

Так как АВ||СД → С~Д~||А1В~ → ДД1-СС1=4

АА1-ВВ1=4→ ВВ1=45-4=41