Дано: ΔАВD, ∠В = 90º, BD = 8см; ВС – высота; ∠ВАК = 150º. Найти: СD, AС.

ответ: CD = 4; AC = 12

Объяснение:

∠A = 30 (Смежные углы)

По свойству катетов AD = 16

Находим по теореме Пифагора сторону BA = =

Находим высоту треугольника BAD; BC= = 4

По теореме Пифагора находим сторону СD = = 4

По теореме Пифагора находим сторону AC = = 12

Проведем диагональ BC. 
<BAC = <DCB = 60 => <ABC = <ADC= 120 => <ABD = <ADB = 60 (диагональ ромба - биссектриса)В треугольнике ABD все углы равны по 60 => этот треугольник - равносторонний => AB = AD = BD = 18.
Проведем диагональ AC.
Диагонали ромба точкой пересечение делятся пополам => BO = OD = 9, AO = OC (O - точка пересечения диагоналей BD и AC). 
Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, треугольник AOD - прямоугольный.
По теореме Пифагора: 324 - 81 = 243 => AO =  =  => AC =  = 

Прямые, соединяющие центр вписанной окружности с концами боковой стороны - это биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных основаниях и секущей боковой стороне. Сумма таких углов 180 градусов, сумма половин - 90 градусов, то есть эти прямые перпендикулярны. Поэтому радиус, проведенный в точку касания этой боковой стороны, является высотой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Если меньший отрезок (на который точка касания делит гипотенузу-боковую сторону) принять за х, а больший за 4*х, то высота - среднее геометрическое этих отрезков.

Действительно, высота делит прямоугольный треугольник на два подобных между собой прямоугольных треугольника - и подобных исходному, конечно - по признаку равенства углов, поэтому

4*х/12 = 12/x;

(4*х)*х = 12^2 = 144; x^2 = 36; x = 6

Боковая сторона равна 30, а периметр 120

(сумма боковых сторон равна сумме оснований)