Основа прямой призмы - треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см. Высота призмы равна радиусу окружности, вписанной в основу. Найти объём призмы

Дана прямоугольная трапеция АВСД с основаниями ВС = 10 см и  АД =15 см и точка S вне плоскости трапеции, равноудалённая от её сторон на 10 см.
Найти расстояние H от точки S до плоскости трапеции АВСД.

Пусть проекция точки S на плоскость АВСД - точка О.
Длину стороны АВ примем равной х.
Точка О тоже равноудалена от сторон трапеции и, поэтому, находится на пересечении биссектрис  прямых углов А и В.
Поэтому перпендикуляр ОЕ из точки О на АВ делит АВ пополам,
Тогда ВЕ = ОЕ = (х/2).
Продлим стороны АВ и СД до пересечения в точке К.
Отрезок КО - биссектриса угла АКД (пусть это угол α).
Отрезок КВ по подобию равен 2х
Тангенс угла ОКЕ = α/2 равен ОЕ/КЕ = (х/2)/(2х + 0,5х) = х/(5х) = 1/5.
Тангенс полного угла α равен:
tg α = 2tg(α/2)/(1-tg²(α/2)) = (2/5)/(1-(1/25)) = (2*25)/(5*24) = 5/12.
Теперь можно определить высоту трапеции, равную стороне АВ.
АВ = (15 - 10)/tg α = 5/(5/12) = 12 см.
Отрезок ОЕ =  х/2 = 12/2 = 6 см.
Находим искомое расстояние Н от точки S до плоскости трапеции.
 Н = √(10² - ОЕ²) = √(100 - 36) =√ 64 = 8 см.

Рассмотрим треугольник ACB. Нам известно, что угол C равен 90, а угол A= 30, следовательно, угол ABC будет равен 60 градусов.Из этого же угла проведена биссектриса ВМ. Нам известно, что биссектриса делит угол пополам, т.е. угол СВМ=30 градусов, угол АВМ = 30 градусов. 
Рассмотрим треугольник ВСМ - прямоугольный.
МС = 1/2 ВМ
МС = 3 см;
Рассмотрим треугольник АМВ - равнобедренный (углы при основании равны). По свойству равнобедренного треугольника ВМ = МА = 6 см.
СА = 3+6 = 9 (см)
ответ: 9 см.

Подробнее - на -