Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС, В и С - точки касания; угол АОВ в 8 раз больше угла ОАС. Найдите угол ВОС.

1). Треугольник АВС правильный, точка М находится на одинаковом расстоянии от его сторон. Значит точка М проецируется в центр О треугольника АВС, так как если наклонные (расстояния от точки М до сторон) равны, то равны и их проекции). Центр правильного треугольника лежит на пересечении его высот, медиан и биссектрис.  Из прямоугольного треугольника МОН по Пифагору получим

ОН=√(МН²-МО²) = √(2²-1²) = √3см.

В прямоугольном треугольнике АОН <OAH=30° (АО - биссектриса угла А = 60°), значит АО=2*ОН = 2√3 (катет против угла 30°), а АН (половина стороны треугольника рана АН=√(АО²-ОН²) = √(12-3) = 3см.

Тогда АВ = 2*3 =6см.

ответ: сторона треугольника равна 6 см.

2). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны (свойство), отрезок SA перпендикулярен плоскости АВСD (дано). Следовательно, он перпендикулярен прямым АО, АВ, AD.

Тогда отрезок SO  перпендикулярен прямой BD по теореме о трех перпендикулярах: Проекция AO наклонной SO перпендикулярна прямой BD, значит и наклонная SO перпендикулярна прямой BD.

ответ: <SOD = 90°.

AA1 = 2√3
OA1 = (2√3)/3
OA1 = A1B = A1C
A1B = (2√3)/3
A1C = (2√3)/3

BC =A1B + A1C = 2*(2√3)/3 = (4√3)/3

AA1² = AC²+ A1C²

(2√3)² = AC² + ((2√3)/3)²

AC² = (2√3)² - ((2√3)/3)²
(2√3)² = 4*3 = 12
((2√3)/3)² = (2/√3)² = 4/3

AC² = 12 - 4/3 = 32/3

AC = √(32/3)

AC = AB1 + CB1
AB1 = CB1
AC = 2*CB1
CB1 = AC/2

BB1² = BC² + CB1²
BB1² = BC² + (AC/2)²

BB1² = ((4√3)/3)² + (√(32/3)/2)²
((4√3)/3)² = (4/√3)² = 16/3
(√(32/3)/2)² = (32/3)/4 = 8/3

BB1² = (16/3)² + (8/3)²=(2²*8²)/9+8²/9 =
= 8²(2²+1)/9 =8²*(5)/9

BB1 = √(8²*(5)/9) = (8*√5)/3
ответ : длина большей из этих медиан BB1 =  (8*√5)/3
смотри рисунок