В прямоугольный треугольник АВС вписана окружность с центром О радиусом 1, АО=2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника

 Пусть ВС = a, AD = b, и пусть h – высота трапеции (см. рисунок)

По свойству (диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной, площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны.) S(ABO)=S(CDO) , обозначим эту площадь S0 (действительно, S (ABD) = S(ACD) , т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. S(AOB)+S(AOD)=S(COD)+S(AOD)  откуда следует S(AOB) =S(COD)).

 Так как S(ABC)= S0+ S1= h*a/2   и   S(ACD)= S0+ S2= h*b/2  , то (S0+S1)/(S0+S2)=a/b

Далее, треугольники BOC и DOA подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит S1/S2=(a/b)^2

Таким образом, (S0+S1)/(S0+S2) = 

Отсюда находим S1= =36/9=4

Поэтому площадь трапеции будет равна s= S1+S2+2S0= 4+9+12=25

Ромб это параллерограмм, у которого все стороны равны. Площадь параллерограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними: S=d1*d2*SinВ/2; у ромба диагонали взаимно перпендикулярны, значит В=90°; Sin90°=1; Значит, для ромба: S=d1*d2/2 (1); Также площадь параллерограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними: S=a^2*SinА (2); приравняем правые части из (1) и (2) и выразим SinА: SinА=d1*d2/2a^2 (3); По условию сторона есть среднее пропорциональное между диагоналями: a^2=d1*d2 (4); подставим (4) в (3): SinА=d1*d2/2d1*d2=1/2; А=30°; ответ: 30