В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол C равен 80 градусам. Отрезок MN проведён так, что угол CAN равен 40 градусам и MN паралельна AC. Найдите Угол BMN. Докажите что AMN равнобедренный.

Около окружности радиуса 4√3 см описан правильный треугольник .На его высоте как на стороне построен  правильный шестиугольник , в который вписана другая окружность. Найдите ее радиус.

Объяснение:

Обозначим радиус вписанной в треугольник окружности r₃=4√3 см. Найдем 1)сторону правильного треугольника ;2) и его высоту :

a₃ = 2r √3 ,   a₃ = 2*4√3*√3=24 (см). Тогда половина стороны 12 см.

По т. Пифагора высота правильного треугольника

h₃=√(24²-12²)=12√3 (см) ⇒ по условию это сторона правильного шестиугольника а=12√3 см.

Найдем радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник

r=(а√3)/2  , r=(  12√3* √3)/2  =18 (см)

Примечание Высота в правильном треугольнике  является медианой.

254. В правильной Треугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна Н. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; г) угол между боковой гранью и основа

254. В правильной Треугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна Н. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды; д) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

а) PO — высота пирамиды PABC. Радиус R описанной вокруг правильного треугольника окружности равен

поэтому

б)

высота, а следовательно, и медиана. Поэтому

следовательно

Значит,

в) Искомый угол - это ∠PBO.