Угол при основании равнобедренного треугольника равен 30°. Чему равен третий угол?

120°

Объяснение:

Второй угол у основания р/б треугольника тоже 30°. Значит третий угол x = 180° - 2*30° = 120°.

R=О1В=5, r=О2В=3. АВС - равносторонний треугольник. m - общая касательная.
Пусть ∠МВС=х, тогда ∠АВМ=60-х.
Углы МВС и АВМ - углы между касательной и хордой, значит ∠АО1В=2(60-х) и ∠СО2В=2х.
Формула хорды: l=2Rsin(α/2), где α - градусная мера хорды.
АВ=2·О1В·sin(60-х)=2R·sin(60-x),
ВС=2·О2В·sinx=2r·sinx,
АВ=ВС, значит
2R·sin(60-x)=2r·sinx,
2·5(sin60·cosx-cos60·sinx)=2·3sinx,
10(√3cosx/2-sinx/2)=6sinx,
5√3cosx-5sinx=6sinx,
11sinx=5√3cosx,
11tgx·cosx=5√3cosx,
tgx=5√3/11.
-----------------------------------------------
tg²x+1=1/cos²x,
tg²x+1=1/(1-sin²x),
1-sin²x=1/(tg²x+1),
sin²x=1-[1/tg²x+1)],

sinx=5√3/14.
------------------------------------------------
Итак, ВС=2r·sinx=6·5√3/14=15√3/7≈3.7 см - это ответ.

Площади треугольников, имеющих равные углы, относятся также, как и произведения сторон, заключающих равный угол:
SMBK/SABC = 2•3/4•5 = 6/20 = 3/10
10SMBK = 3ABC
SMBK = 0,3SABC
Известно, что SABC = SMBK + 7√15/4
SABC = 0,3SABC + 7√15/4
0,7SABC = 7√15/4
SABC = 7√15/4 : 0,7
SABC = 5√15/2
По теореме о площади треугольника:
SABC = 1/2AB•BC•sinABC, откуда sinABC = 2SABC/(AB•BC)
sinABC = 5√15/(4•5) = √15/4
По основному тригонометрическому тождеству:
cosABC = √1 - sinABC² = √1 - 15/16 = 1/4
По теореме косинусов:
MK² = MB² + BK² - 2MB•BK•cosABC
MK² = 2² + 3² - 2•2•3•1/4 = 4 + 9 - 3 = 10
MK = √10.
ответ: MK = √10.