Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 16 дм, а егоплощадь — 80 дм^2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырехугольник.​

Пусть данная точка будет А, плоскости, между которыми она расположена – α и β. 

Расстояние от точки до плоскости - длина отрезка, проведенного перпендикулярно к ней. 

АВ ⊥ альфа, АС ⊥ бета. АВ=АС=а

Расстояние от точки до линии пересечения плоскостей - длина отрезка, проведенного перпендикулярно этой линии, т.е. ребру двугранного угла. АВ и АС  лежат в плоскости, перпендикулярной двугранному углу, т.е. содержащей его линейный угол. АМ лежит в той же плоскости и потому перпендикулярна линии пересечения плоскостей. 

ВМ и СМ - проекция наклонной АМ на данные плоскости, а т.к. расстояния от А до них равны, то ВМ=СМ.

Рассмотрим треугольники АВМ и АСМ. Оба прямоугольные с равными катетами и общей гипотенузой АМ. ⇒∆ АВМ=∆АСМ по трем сторонам. 

∠АМВ=∠АМС=60°:2=30° ⇒

АМ=АВ:sin30°=а:1/2=2a Это ответ. 

Дано:  ΔABC _равнобедренный ;
 BA = BC =4 см ; * * * AC_ основание треугольника* * * 
AK ⊥  BC  * * * AK_ высота * * * 
AK = 3 см .

 КС -?

Рассмотрим два случая :

a)  ∠B _острый   * * * ∠B   <  90° * * *
Точка К (основание высоты ) лежит на стороне СB .
Из  ΔABK по теореме Пифагора :
BK = √ (AB² -AK²) = √ (4² -3²)  =√ (16 -9)  = √7  (см) .
KC =BC - BK = (4 - √7 ) см .
b)  ∠B _тупой   * * * ∠B   >  90° * * *
Точка К лежит на  ее продолжения  СB  (за  точку  B ).
Аналогично:  BK  = √7  см  , но в этом случае :
KC = СB +КС = (4 + √7 ) см .

ответ :   KC= (4 ± √7 ) см .