Задания по геометрии 8 Клас​

1.

P(4;3), T(-2;5).

Используем уравнение прямой, проходящей через две точки.

Если даны две точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки будет

То есть у нас даны две точки P(4;3) и T(-2;5), уравнение прямой, проходящей через них будет

-(x-4) = 3·(y-3),

4 - x = 3y - 9,

3y + x - 9 - 4 = 0,

x + 3y - 13 = 0.

Можно сделать проверку: подставим координаты каждой точки в уравнение и проверим выполнение равенства.

P(4;3):

4 + 3·3 - 13 = 4 + 9 - 13 = 0. Верно.

T(-2;5):

(-2) + 3·5 - 13 = -2 + 15 - 13 = 0. Верно.

ответ. x + 3y - 13 = 0.

2.

x + 3y - 13 = 0,

Уравнение оси Ox (оси абсцисс): y = 0. Подставим это в уравнение прямой и получим x + 3·0 - 13 = 0, ⇔ x = 13.

Итак, пересечение прямой с осью Ox дает точку (13;0).

Уравнение оси Oy (оси ординат): x = 0. Подставим это в уравнение прямой и получим 0 + 3y - 13 = 0, ⇔ .

Итак, пересечение прямой с осью Oy в точке .

3.

Дана прямая x - y + 2 = 0 и окружность (x-2)² + (y-1)² = 9.

Чтобы найти координаты точек пересечения решим систему двух уравнений на два неизвестных.

Из уравнения прямой находим y = x+2, подставим это в уравнение окружности: (x-2)² + ( x+2 - 1)² = 9,

(x-2)² + (x+1)² = 9,

x² - 4x + 4 + x² + 2x + 1 = 9,

2x² - 2x + 5 - 9 = 0,

2x² - 2x - 4 = 0,

x² - x - 2 = 0,

D = (-1)² - 4·1·(-2) = 1 + 8 = 9 = 3²,

Итак, координаты первой точки (-1; 1).

.

Итак, координаты второй точки (2; 4).

ответ. (-1; 1), (2; 4).

Дано:

Окружность (О; r)

∠OBA = 30°

CA — касательная

Найти:

∠BAC — ?

1) Так как радиусы окружности равны, значит, две стороны треугольника ABO равны. ⇒ ΔABO равнобедренный (AO = OB).

У равнобедренного треугольника углы при основании равны, следовательно: ∠OBA = ∠OAB = 30°.

2) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, значит CA ⊥ OA. ∠OAC = 90°.

3) ∠BAC = ∠OAC - ∠OAB.

∠BAC = 90° - 30° = 60°.

ОТВЕТ: 60°

Быстрое решение (пояснения писать обязательно нужно):

1) ΔABO равнобедренный, так как радиусы окружности, составляющие стороны треугольника, равны (AO = OB). Следовательно, ∠OBA = ∠OAB = 30°.

По свойству касательной, CA ⊥ OA ⇒ ∠OAC = 90°. Значит:

2) ∠BAC = 90° - 30° = 60°

ОТВЕТ: 60°