Найти равные треугольники и доказать

1.Дано:△ABD и △ACD - прямоугольный.

∠BAD = ∠DAC

Доказать:△ABD = △ACD

Рассмотрим △ABD и △ACD:

∠BAD = ∠DAC, по условию.

AD - общая сторона (гипотенуза)

=> △ABD = △ACD, по гипотенузе и острому углу.

Ч.Т.Д

2.Дано:∠A = ∠C

∠ADB = ∠CDB

Доказать:△ABD = △CBD.

Решение.

∠A = ∠C, по условию =>△ABC - равнобедренный

=>∠ABD =∠CBD и ∠ADB = ∠CDB, так как сумма углов треугольника равняется 180°

BD - общая сторона

=> △ABD = △CBD, по 2 признаку равенства треугольника.

Ч.Т.Д.

3.Дано:AE = ED

△ABD и △DCA - прямоугольные.

Доказать:△ABD = △DCA.

Решение.

Т.к. AE = ED =>△AED - равнобедренный.

=> ∠DAE = ∠ADE

AD - общая сторона. (гипотенуза)

=> △ABD = △DCA, по острому углу и гипотенузе.

Ч.Т.Д.

Пусть ABCD – трапеция, CD = 2 см, АВ = 3 см, BD = 3 см и АС = 4 см. Чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём диагональ BD на вектор DC в положение СВ'. Рассмотрим треугольник АСВ1. Так как ВВ'CD – параллелограмм, то В'С = 3 см, АВ' = АВ + ВВ' = АВ + CD = 5 см. Теперь известны все три стороны треугольника АВ'С. Так как АС²+ В'С²= АВ'²= 16+9=25, то треугольник АВ'С – прямоугольный, причем АСВ' = 90°. Отсюда непосредственно следует, что угол между диагоналями трапеции, равный углу АСВ', составляет 90°. Площадь трапеции, как и всякого четырёхугольника, равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Отсюда площадь равна 1/2AC * BD * sin 90° = 1/2 * 4 * 3 * 1 = 6 см²

Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°⇒ 

∠АВС=90°-60°=30°

∆ ВСН прямоугольный, СН противолежит углу 30°.По свойству прямоугольного треугольника с углом 30° гипотенуза ВС = 2•СН=16 см

Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенного перпендикулярно к ней. 

ВС⊥АС, ВС - проекция КС.

 По т. о 3-х перпендикулярах  КС⊥АС.⇒  КС - данное в условии расстояние от К до АС. 

По условию ВК перпендикулярна плоскости АВС, следовательно, перпендикулярна любой прямой, проходящей через В. ⇒

 ∆ КВС прямоугольный, 

По т.Пифагора КВ=√(KC²-BC²)=√(400-256)=12 см