В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, угол B — прямой. Вычисли углы треугольника A и C, а также центральные углы, если ∢ FOE = 112°. ∢ A= ∢ C= ∢ EOD = ∢ DOF =

Радиус проведённый в точку касания перпендикулярен касательной.

В четырёхугольнике сумма углов равна 360°.

В четырёхугольнике EOFC:

∠ECF = 360°-∠EOF-∠CEO-∠CFO = 360°-102°-90°-90° = 78°.

В треугольнике сумма углов равна 180°.

В ΔABC:

∠BAC = 180°-∠ABC-∠BCA = 180°-90°-78° = 12°

В четырёхугольнике BEOD:

∠EOD = 360°-∠ODB-∠DBE-∠BEO = 360°-90°-90°-90° = 90°

В четырёхугольнике DOFA:

∠DOF = 360°-∠OFA-∠FAD-∠ADO = 360°-90°-12°-90° = 168°

ответ: ∠A=12°, ∠C=78°, ∠EOD=90° и ∠FOD=168°.

Объяснение:

Если прямая перпендикулярна двум непараллельным прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости, значит ребро двугранного угла перпендикулярно плоскости α. Отсюда следует, что принадлежащие плоскости α прямые АВ и АС перпендикулярны данному ребру. 
Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи, по которым грани двугранного угла пересекаются плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла, значит ∠ВАС - линейный угол этого двугранного угла.

Проведём отрезок из точки В в точку С под прямым углом.
угол САD=90-60=30°
сторона лежащая против угла в 30° равна половине гипатенузы, следовательно ВС=8/2=4(см)
теперь по теореме Пифагора(т.к. мы сделали прямоугольный треугольник)
АС²=АВ²+ВС²
сейчас выражаем катет АВ из данной формулы:
АВ²=АС²-ВС²
АВ²=8²-4²=64-16=48
АВ=√48=4√3(см)
проведём также отрезок СD к плоскости под прямым углом, и получим прямоугольник ABCD, где все углы равны 90°, и по свойствам прямоугольников противолежащие стороны равны, ВС=AD=4(см)
ответ:длина перпендикуляра АВ= 4√3 см, а длина проекции АD=4 см.
(фото чертежа прикрепил)