Вычисли неизвестную сторону, если дано, что ΔOMN∼ΔOLK. KLO.PNG OM= 3 OL= 12 NM= 8; KL= .

Найдите косинус угла В треугольника АВС, если А(2;-4;2), В(3;-3;3), С(4;0;1)

. Векторный (*).

Координаты вектора ВА( -1;-1 ;-1) , вектора ВС(1; 3;-2).

Длины векторов |BA|=√((-1)²+(-1)²+(-1)²)=√3,   |BC|=√(1²+3³+(-2)²)=√14  .

cos B= .

2 cпособ. По т. косинусов (**).

Для ΔАВС применим т. косинусов:   АС²=АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*cosВ.

Найдем длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками (***)    АВ=√( (3-2)²+(-3+4)²+(3-2)² )=√(1+1+1)=√3,

АС=√(2²+4²+(-1)²)=√21,       ВС=√(1²+3²+(-2)²)=√14.

Тогда     √21²=√3²+√14²-2*√3*√14*cosВ,

cosВ = = =  .

===================================  

(*)Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин.

(**)Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

(***)d=√( (х₁-х₂)²+(у₁-у₂)²+ (z₁-z₂)²),  где (х₁;у₁; z₁),  (х₂;у₂; z₂) -координаты концов отрезка.

а) (-2;0) - центр окружности, радиус окружности равен 3.

б) (0; 4) - центр окружности, радиус окружности равен .

в) (5; -7) - центр окружности, радиус окружности равен 4.

Объяснение:

Уравнение окружности имеет вид: (x-a)²+(y-b)²=R². Здесь центр окружности (a; b) . R - радиус окружности.

а) (-2; 0) -центр окружности, R²=9. R²=3². R=3.

б) (0; 4) - центр окружности, ,  .

в) (5; -7) - центр окружности, R²=16, ,  R=4.

Заметим, что по условию задачи радиус всегда должен быть положительным. То есть при извлечении корня выбираем только арифметический корень