Втрапеции abcd основание ad в 5 раз больше основания bc. диагонали трапеции пересекаются в точке о. средняя линия трапеции пересекает диагонали в точках m и n. найдите отношение площади треугольника mon к площадитрапеции.

проведём высоту трапеции через точку о. обозначим вс=х, тогда ад=5х. высота треугольника вос   ор=у, тогда высота треугольника аод=5у, поскольку аод и вос подобны с коэффициентом подобия по условию=5.  тогда высота трапеции рq  равна у+5у=6у. отрезок мn  лежит на средней линии трапеции, которая делит высоту трапеции пополам , то есть кр=3у. точка к лежит на мn. ок-высота треугольника моn.  ок=кр-ор=3у-у=2у. треугольники аод и моn подобны, коэффициент подобия равен ok/oq=2/5. отсюда мn=2/5*ад=2/5*5х=2х. площадь трапеции равна sавсд=(ад+вс)/2*рq=(х+5х)/2*6у=18х*у.    площадь треугольника моn=1/2*мn*ок=1/2*2х*2у=2х*у. тогда отношение 2х*у/18х*у=1/9.

условие насчет «один из углов в два раза меньше другого» делает элементарной. в самом деле, углы при основании равнобедренной трапеции равны, поэтому речь идет о внутренних односторонних углах при боковой стороне, сумма которых 180 градусов, поэтому угол при большем основании 60 градусов, а при меньшем — 120, конечно.

но это означает, что трапеция является усеченным правильным треугольником. поскольку диагональ трапеции является биссектрисой угла при основании, то попадает в середину стороны этого  правильного треугольника. то есть верхнее основание — это средняя линяя  правильного треугольника, до которого достраивается трапеция при продолжении боковых сторон. отсюда большее основание равно удвоенному меньшему, то есть 16. 

площадь можно сосчитать по разному, например, как 3/4 площади правильного треугольника со стороной 16. 

однако можно и так — соединим середину большого основания с вершинами малого. легко видеть, что трапеция разрезана на 3 равносторонних треугольника со стороной 8. площадь каждого из них 8^2*корень(3)/4 = 16*корень(3), а площадь трапеции 48*корень(3).

теперь заодно видно, что высота ке делит большое основание в отношении 3/1.

1) площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними: s = 9см•6√2см•√2/2см = 54 см² (sin135° = sin45° = √2/2) 2) диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому большая диагональ разделить угол в 60° на углы, равные 30° и 30° соответственно. кроме того, диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. тогда большая диагональ разделмт меньшую на отрезки, равные 6 см и 6 см. рассмотрим один из получившихся треугольников. он прямоугольный и катет, лежащий против угла в 30°, равен 6 см. тогда гипотенуза, которой является сторона ромба, равна удвоенному катету, противолежащему углу в 30°, т.е. 2•6см = 12см. вторая диагонаот по теореме пифагора равна: 2•(√12² - 6²) = 2√108 = 12√3/ответ: 12 см, 12√3.