Периметр прямокутника дорівнює 74, а площа - 300. Знайдіть сторони прямокутника.

Роз-ня:

Складаємо систему:

2a+2b=74

a*b=300

a+b=37

a*b=300

А потім - методом підстановки, або як робила я - методом підбору:

a=25(см)

b=15(см)

Відповідь:

15см; 25см

B1.   S = (a²√43)/48 ≈ 0.137 a²;    B2.    AE = 2a;

Объяснение:

У тетраэдра АВСD все рёбра равны а, следовательно, все углы между рёбрами граней равны по 60°.

По условию АК = КD, поэтому АК = КD = а/2.

По условию CL : LD = 1 : 2, следовательно CL = a/3, a  LD = 2a/3.

Смотри прикреплённый рисунок. Там сделаны дополнительные построения.

В1.

Из точки К проводим прямую KM, параллельную АВ и соединяем отрезком прямой точки М и L

Поскольку плоскость KLM параллельна АВ, то по определению параллельности прямой и плоскости (Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости) строим плоскость KLM следующим образом.

Проводим прямую КМ параллельно АВ и соединяем отрезком прямой точки М и L. По приведённому признаку параллельности прямая АВ параллельна плоскости KLM.

Поскольку КМ ║ АВ, то MD = BM = a/2

КМ - является средней линией ΔADB ⇒ КМ = а/2.

Рассмотрим Δ MDL. Найдём в нём сторону ML.

По теореме косинусов ML² = MD² + LD² - 2 · MD · LD · cos 60°

ML² = (a/2)² + (2a/3)² - 2 · a/2 · 2a/3 · 1/2

ML² = a²/4 + 4a²/9 - a²/3

ML² = 13a²/36

ML = (a√13)/6

ΔKDL = ΔMDL (KD = MD;  DL - общая сторона; и ∠KDL = ∠MDL = 60°)

Следовательно, KL = ML =  (a√13)/6

и ΔKML - равнобедренный  KL = ML =  (a√13)/6

Высота h в ΔKML является и медианой и делит пополам сторону КМ, которая равна а/2

Найдём h по теореме Пифагора

ML² = h² + (KM/2)²

13a²/36 = h² + (a/4)²

h² = 13a²/36 - a²/16 = 52a²/144 - 9a²/144 = 43a²/144

h = (а√43)/12

Площадь ΔKML равна

S = 1/2 · KM · h = 1/2 · a/2 ·  (а√43)/12

S = (a²√43)/48

В2.

В треугольнике АКЕ проведём прямую KF ║ СL.

Тогда ΔАКF - равнобедренный (так как ∠КFA = ∠KAF = 60°), и KF = AF = a/2;    и  FC = AC - AF = a - a/2 = a/2

ΔKFE и ΔLCE подобны, так как KF ║ LC.

Из их подобия следует, что

КF : LC = EF : EC

a/2 : a/3 = (FC + EC) : EC

3/2 = (a/2 + EC) : EC

3 EC/2 = a/2 + EC

EC/2 = a/2

EC = a

AE = AC + EC = a + a = 2a

Так как все боковые рёбра равны, то вершина пирамиды проецируется на основание в центр описанной окружности.

Для прямоугольного треугольника - это середина гипотенузы.

Значит, грань ASB - вертикальна.

У этой грани углы при основании по 60 градусов, значит, треугольник ASB- равносторонний. AB = 10√3.

Высота пирамиды SH = 10√3*sin 60° = 10√3*(√3/2) = 15.

Сторона ВС, как лежащая против угла 30°, равна (10√3)/2 = 5√3, поэтому у равнобедренного треугольника BSC основание равно 5√3.

Отсюда по теореме косинусов находим угол SBC.

cos(SBC) = ((5√3)² + (10√3)² - (10√3)²)/(2*5√3*10√3) = 75/300 = 1/4.

Угол SBC = arc cos(1/4) = 1,3181 радиан или 75,5225 градуса.

Площадь основания So = (1/2)*АС*ВС.

АС = 10√3*cos 30° = 10√3*(√3/2) = 15.

So = (1/2)*15*(5√3 )= 75√3/2 кв.ед.

Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*(75√3/2)*15 = (375√3/2) куб.ед.