Пряма а дотикається до кола в точці A. Чи проходить через центр кола пряма, яка проходить через точку А і перпендикулярна до прямої а?

 Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 12,  радиус окружности, описанной около основания, равен 6.  Найдите косинус двугранного угла при основании пирамиды.    
-------------------------
 Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат. 
Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине  диагонали квадрата. 
 Пусть основание - АВСД. 
Центр описанной окружности квадрата находится в точке  пересечения его диагоналей и является основанием КО -  высоты  пирамиды. 
Радиус описанной окружности АО=ОВ,  апофема - КН. 
 Из прямоугольного треугольника АОВ сторона  АВ по т. Пифагора равна 6√2. 
Косинус двугранного угла при основании пирамиды найдем из  прямоугольного треугольника КНО
 cоs∠КНО=ОН:КН. 
ОН - высота и медиана равнобедренного прямоугольного ⊿ АОВ и равна АН  
ОН=АВ:2=6√2:2=3√2  
cоs∠КНО=(3√2):12= (√2):4  или иначе 1:(2√2)

Если высота СН прямоуг. ΔАВС равна 12 см ,то гипотенуза АВ не может равняться 20 см.

По свойству высоты, проведённой из прямого угла прямоуг. треуг-ка на гипотенузу, она есть среднее пропорциональное (среднее геометрическое) между проекциями катетов на гипотенузу, то есть CH²=AH·BH .

Если гипотенуза АВ=20 см, то АВ=АН+ВН=20 см .

Обозначим АH=х , тогда ВН=(20-х) см.

Уравнение не имеет действительных корней, значит не существует треугольника с гипотенузой 20 см и высотой, проведённой из вершины прямого угла , равной 12 см.