Медиана треугольника ABC, периметр которого равен 42 см делит его на два треугольника с периметрами 33 см и 35 см. Найдите длину этой медианы​

длина медианы равна 13 см.

Объяснение:

В сумме двух треугольников вместе,кроме периметра старого треугольника два раза прибавилась медиана. Значит надо от суммы двух периметров отнять "лишние"  элементы,то есть две мелианы.

42=33+35 -2Х    или 2Х=26 значит длина медианы 26/2=13 см

Около трапеции описана окружность - значит, трапеция вписанная и  равнобедренная, т.к. в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. 
Сделаем рисунок, обозначим вершины углов трапеции привычными АВСД Через центр окружности проведем перпендикулярно  к основаниям трапеции диаметр.
Его отрезок МК, заключенный между основаниями трапеции, является ее высотой и делит основания пополам. ( Основания - хорды, перпендикуляр из центра окружности к хорде делит ее пополам).
Соединим центр О с вершинами С и Д.
ОС=ОД=R
Обозначим ОК=х, тогда ОМ =27-х
По т. Пифагора 
R²=МС²+ОМ²
R²=КД²+ОК²  Приравняем значения радиуса. 
МС²+ОМ²=КД²+ОК²
225+(27-х)²=576+х²
54х=378
х=7
ОК=7
R²=КД²+ОК²
R²=24²+7²
R²=625
R=25

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180°.
Значит угол DАВ=180 - <ABC=180-120=60°
 угол BCD=180 - <CDA=180-30=150°
Проведем из вершины С на основание АD прямую СЕ, параллельную стороне АВ. Получается четырехугольник АВСЕ - параллелограмм (противоположные стороны  параллельны), значит равны его противоположные стороны  (АВ=СЕ, ВС=АЕ=12) и противоположные углы (<DAВ=<ВСЕ=60°, <АВС=<CЕA=120°).
Рассмотрим ΔCDЕ, у него <DСЕ=<ВCD-<ВCЕ=150-60=90°, значит треугольник прямоугольный.
Найдем катет СЕ=DЕ*sin <CDA=(AD-AE)*sin 30=(20-12)*1/2=8*1/2=4 см
Значит АВ=4см.