1.найдите площадь полной поверхности и объем правильной треугольной призмы с ребром 3. 2. осевое сечение цилиндра квадрат, площадь которого равна 16. найдите площадь поверхности и объем цилиндра. 3. диагональным сечением четырехугольной пирамиды служит правильный треугольник со стороной, равной 1. найдите объем пирамиды 4. на поверхности шара даны три точки. расстояние между ними 6, 8, 1-. Радиус шара 13. найдите расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти три точки. 5. стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 4 и четыре корень из трех см, а боковая грань наклонена к плоскости большего основания угол 60 градусов. найдите площадь полной поверхности данной пирамиды

Задачу можно очень сильно упростить. Точка К - центр грани А1B1C1D1 - принадлежит прямым B1D1 и A1C1, то есть - обеим плоскостям. Точно так же центр грани ABB1A1 - точка М принадлежит A1B и B1A, то есть опять таки обеим плоскостям. Таким образом КМ - линия пересечения плоскостей. 

Треугольники А1КМ и В1КМ - равносторонние. Если считать, что их сторона равна 1, то ребро куба равно √2, а высота треугольника А1КМ (и В1КМ - тоже) равна √3/2;

То есть если обозначить косинус угла между перпендикулярами к КМ из точек A1 и В1 как х, то по теореме косинусов

(√2)^2 = (√3/2)^2 + (√3/2)^2 - 2*(√3/2)*(√3/2)*x; x = -1/3; Конечно, знак тут никакой роли не играет, просто выбранный для вычисления треугольник - тупоугольный. Дополнительный к нему угол имеет косинус 1/3; это просто вопрос выбора.

 

На самом деле, самое простое решение этой задачи получается, если применить координатный метод. Пусть Р - середина А1В1. Пусть начало координат лежит в ней, ось Z проходит через точку М, Х - через точку К, Y - через точки А1 и В1.

Здесь я принимаю ребро куба равным 2, то есть РА1 = РВ1 = РК = РМ = 1; 

Плоскость ВА1С1 - то есть плоскость А1КМ проходит через точки К = (1,0,0);  А1 = (0,-1,0); М = (0,0,-1); 

уравнение такой плоскости x - y - z = 1; (можете проверить, что все три точки удовлетворяют этому уравнению)

Отсюда нормальный вектор к этой плоскости q = (1,-1,-1);

модуль этого вектора равен √3

Плоскость АВ1С1 - то есть плоскость В1КМ проходит через точки К = (1,0,0);  В1 = (0,1,0); М = (0,0,-1); 

уравнение такой плоскости x + y - z = 1;

Отсюда нормальный вектор к этой плоскости l = (1, 1,-1);

модуль этого вектора тоже равен √3;

осталось вычислить угол между нормальными векторами (равный, очевидно, углу между плоскостями), для чего надо их скалярно перемножить и разделить на модули. Скалярное произведение равно ql = 1 - 1 + 1 = 1; а произведение модулей равно 3, откуда косинус угла равен 1/3.

Видно, что тут ответ получается сам собой. Но большое преимущество такого метода в том, что им легко получать углы между плоскостями и в более сложных случаях, когда применение простых геометрических методов затруднительно.

Я в другом месте Вам выложил векторное решение, а тут - простое и элементарное:)

При повороте на 90 градусов вокруг общей для двух квадратов вершины В стороны квадратов переходят "в себя" - точнее, сторона ВС переходит в ВР, а сторона МВ - в АВ. Или, что то же самое - точка С переходит в Р, а точка М - в А.

Удивительным образом отсюда сразу следует ответ :)

В самом деле, получается, что в четырехугольнике АМРС про повороте на 90 градусов диагональ МС переходит в диагональ АР.  То есть они равны и перпендикулярны :)

А стороны искомой фигуры соединяют середины соседних сторон четырехугольника АМРС, поэтому равны половинам диагоналей и параллельны им (например, О1К - средняя линяя в треугольнике АМС, поэтому она параллельна МС и равна её половине, и так все 4 стороны четырехугольника О1LO2K).

Поэтому четырехугольник О1LO2K - квадрат :)

 

У Прасолова в его сложнейшем задачнике эта задача помечена * (особой сложности :)) У него приведено векторное решение, похожее на которое (более понятное) я выложил тут в другом месте. Но это решение, по-моему, снимает все вопросы.