Дан треугольник ABC(прямоугольный), угол C = 90 градусов, угол A = 45 градусов, CB = 6 см. Найти Sabc​

18 см²

Объяснение:

Если ∠А=45°, то и ∠В=45°, т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°.

Значит, ΔАВС - равнобедренный, АС=ВС=6 см.

Sabc​=1/2 * 6 * 6 = 18 см²

 Положим что окружность вписанная в треугольник ABC касается AB,BC,CA в точках N,M,X , аналогично окружность ACD касается CD,DA,CA в точках  G,L,K по условию окружности касаются друг друга следовательно X=K. Тогда AX=AN, BN=BD, CD=CX тоже самое CG=CX , GD=LD, AL=AX тогда получим AB+CD=BC+AD (свойства описанного четырехугольника), теперь удобнее всего воспользоваться достаточным условием вписанности в четырехугольник окружности, оно гласит что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность тогда, когда окружности вписанные в треугольники ABC и ADC или BCD и ABD касаются друг друга. 
Это можно доказать отдельно, если расписать все по отрезкам касательных и воспользоваться тем, что AB+CD=BC+AD.  

Рассмотрим треугольник, образованный высотой, биссектрисой и гипотенузой. косинус угла между высотой и биссектрисой будет равен
cos(fi)=h/l
fi = arccos(h/l)
угол между высотой и меньшим катетов составит
gamma=45-arccos(h/l)
этот же угол будет являться наименьшим углом исходного треугольника, в силу подобия исходному двух малы треугольников, на которые высота делит исходный.
для нахождения площади разобьём исходный треугольник на три фигуры -
1. квадрат, построенный на биссектрисе как диагонали
s1=1/2*l^2
2. длинный треугольник с катетом l/√2 и противолежащим ему углом gamma
его площадь
s2=1/2*l/√2*l/√2/tg(gamma)=l^2/4*ctg(gamma)
3. треугольник покороче, с катетом l/√2 и прилежащим к нему углом gamma
s3=l^2/4*tg(gamma)
суммарная площадь
s=l^2/4(2+tg(gamma)+ctg(gamma))
подставим наши числовые данные
gamma=45-arccos(5/7)=0.5847°
остренький угол :)
s=1/16(2+tg(0.5847°)+ctg(0.5847°))=12.25