Вершины треугольника MNK лежат на окружности с центром О. Угол NOK = 100 , <МКN: <МNK= 7 : 3. Найдите градусные меры дуг NM, NK, KM.

ответ:1) 105°, 85°, 105°, 85°.   2)115°, 65°, 115°, 65°.

Объяснение:

1) Сумма углов, прилегающих к одной из сторон, равна 180°.

По условию сумма двух углов равна 210°, значит они противоположные, т. к. 210° > 180°.

Противоположные углы ромба равны ⇒ 210°:2=105°.

180°-105°=85°.

ответ: 105°, 85°, 105°, 85°.

2) Пусть х° - больший угол, тогда (х°-50°) - больший угол ромба.

Сумма двух углов ромба, прилегающих к одной стороне, равна 180°.

Составим уравнение:

х+х-50=180,  2х=230,  х=115.  х-50=65.

ответ: 115°, 65°, 115°, 65°.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. (теорема).

В ∆ ОMN и ∆ ОMK углы при вершине М равны, MN=MK, МО - общая, ОМ=ОК. ⇒ ∆ ОMN = ∆ ОMK 

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. 

∆ ОMN и ∆ ОMK - прямоугольные. Если не помните, что при отношении катета  к гипотенузе 5:13 второй катет равен 12, можно MN и MK найти по т.Пифагора. 

MN=√(MO²-ON²)=√144=12 см– это ответ. 

                 * * * 

 Если две хорды окружности пересекаются в некоторой точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. (теорема).⇒

АF•BF=CF•DF

Так как по условию CF=DF, то

CF²=4•16=64

CF=√64=8 см

CD=2CF=16 см