Дан ромб со сторонами 8 см и острым углом 60. Через вершину острого угла проведена прямая параллельной меньшей диагонали. Ромб вращают вокруг этой прямой. Найти объем полученного тела.

Тут всего лишь тригонометрическая "шутка".
Треугольник ABK - прямоугольный, потому что AK  и BK - биссектрисы углов, которые в сумме составляют 180°. Сумма половин углов A и B параллелограмма равна 90°, значит и ∠BKA равен 90°.
Если M - проекция K на AB, то треугольник MBK подобен треугольнику ABK - это прямоугольные треугольники с общим углом.
Если обозначить ∠BAD = α; то ∠BAK =∠MKB = α/2;
отсюда легко найти
BK = AB*sin(α/2); MK = BK*cos(α/2) = AB*sin(α/2)*cos(α/2) = AB*sin(α)/2;
Но AB*sin(α) = H; - высота параллелограмма к стороне BC.
Поэтому H = 2*MK;
Площадь S = H*BC = 2*MK*BC = 4;

AB=BC ; AC =4√2 ; MB =MC ; AM =5 .

S=S(ABC) - ?

обозн.   <AMB =α .
Из треугольника  AMB по теореме косинусов:
AB² =  AM² +MB² -2AM*MB*cosα  (  1) ;
аналогично из ΔAMB: 
AC² =AM² +MC² -2AM*MC*cos(180° -α )  ⇔ 
AC² =AM² +MC² +2AM*MC*cosα    (2) ;
складывая   (1) и (2)  получаем :
AB²+.AC² =2AM² + 2MB² ⇔  AB²+.AC² =2AM² + 2(BC/2)²⇒4AM²=2(AB²+.AC²) -BC² ;

AM =(1/2)*√(2(AB²+.AC²) -BC² ) .  Эту известную формулу для вычисления медианы можно было применить сразу .
5 =(1/2) *√(2(AB² +(4√2)²) - AB²)⇔4*25 =AB² +64 ⇒AB =BC=6 .
Зная стороны треугольника можно вычислить ее площадь .
здесь удобно  S = 2S(ABM) =2√7*1*4*2 =4√14  (прим формула Герона).

ответ : 4√14  кв. ед.