Трикутник ABC та паралелограм ABMN не лежать на одній площині. Точки K та L - середини сторін AC і BC відповідно. Доведіть, що KL II MN.

1) Проекция бокового ребра на основание - это половина диагонали квадрата основания.

То есть: d = 2*12*cos 60° = 24*(1/2) = 12 см.

Сторона основания а = d/√2 = 12/√2 = 6√2 см.

Площадь основания So = a² = 72 см².

Высота пирамиды равна: Н = 12*sin 60°  = 12*(√3/2) = 6√3 см.

Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*72*6√3 = 144√3 см³.

2) Проекция апофемы на основание - это (1/3) высоты основания.

Тогда высота основания h = 3*(Н/tg 60°) = 3*(2√3)/(√3) = 6 см.

Сторона основания а = 6/cos 30° = 6/(√3/2) = 12/√3 = 4√3 см.

Площадь основания So = a²√3/4 = 48√3/4 = 12√3 см².

Получаем ответ:

Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*(12√3)*(2√3) = 8*3 = 24 см³.

1)Треугольник МNK- равнобедренный.

Значит, углы при его основании равны => <NMK=<NKM=60°.

2)NP- медиана равнобедренного треугольника MNK, а значит, является одновременно биссектрисой и высотой. =>

3)Биссектриса NP делит угол N пополам. Поскольку угол N=60° (Сумма углов треугольника равна 180° => N = Треугольник MNK-M-K =180°-60°-60° = 60°), то <PNM= <PNK=30°.

4) NP - высота, а значит <NPM= <NPK=90°

Из этого следует, что треугольник NPK= <NPK+<PNK+<NKP= 90°+60°+30°