1. Выполните чертеж тетраэдра с основанием АВС и вершиной D: а) Постройте: высоту DО.б) Можно ли сказать, что в пирамиде DАВС основанием является ∆ DАВ( ответ объяснить) 2. Выполните чертеж прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1: а) Назовите основания, боковые грани параллелепипеда, б) Назовите 3 пары параллельных плоскостей, 3 пары параллельных прямых, 3 пары плоскости и прямой параллельной ей, 3 пары скрещивающихся прямых3. У параллелепипеда три грани имеют площади 1м2, 2м2, 3м2. Чему равна полная поверхность параллелепипеда?4. Докажите, что плоскость проходящая через середины ребер DА, DВ, DС тетраэдра DАВС параллельна плоскости АВС.​

Другими словами надо найти радиус основания вписанного в шар цилиндра.Задача на экстремум.R-радиус шара
Объем данного цилиндра с неизвестным радиусом r и высотой
V=pi*H*r^2. 
Как известно осевым сечением вписанного цилиндра будет прямоугольник с основанием   2r, высотой H и диагональю 2R.
Выразим квадрат радиуса основания цилиндра через его высоту и радиус шара, используя  теорему Пифагора:
r^2 = R^2 − (H/2)^2.
Зависимость объёма вписанного цилиндра от  высоты принимает вид:
V(H) =pi(R^2 − (H/2)^2)H =10,25pi(4R^2−H^2)H = 0,25pi(4R^2*H−H^3)   (0 < H < 2·R)
Найдем производую функции V(H):
V`(H)=0,25pi(4R^2-3H^2) 
V'(H)=0
 0,25pi(4R^2-3H^2)=0
   4R^2-3H^2=0
H^2=(2/3)R^2
H=R√(2/3) (отрицательный не входит в область определения)
r^2 = 2R²/3;   r=R√(2/3)
r=6√(2/3)=6√(2/3):2/3=9√(2/3)

Mc - медиана к стороне с; ma - медиана к стороне a; mb - медиана к стороне b; 
(2*mc)^2 = 2*(a^2 + b^2) - c^2;
(2*mb)^2 = 2*(a^2 + c^2) - b^2;
(2*ma)^2 = 2*(b^2 + c^2) - a^2;
4*(ma^2 + mb^2 + mc^2) = 2*a^2 + 2*b^2 - c^2 + 2*a^2 + 2*c^2 - b^2 + 2*b^2 + 2*c^2 - a^2 = 3*(b^2 + c^2 + a^2); это всё

формулу для длины медианы (2*mc)^2 = 2*(a^2 + b^2) - c^2; лучше всего запоминать именно в такой форме. Получается она элементарно - если продолжить медиану mc на "свою длину" за точку пересечения со стороной c, то треугольник "достраивается" до параллелограмма, в нем диагонали равны с и 2*mc, а стороны a и b. Если теперь  записать теорему косинусов для двух треугольников - исходного с^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(Ф); и треугольника со сторонами a, b и 2*mс
(2*mс)^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b*cos(Ф); и сложить, как раз и получится нужная формула.