Медианы AM и BN треугольника ABC пересекаются в точке О. Вычислите: б) AM и BN, если AO = 4√3 см, BO = 6√3 см.Желательно с объяснением

Здесь даже можно без рисунка. Надо знать одну хитрость - свойство медиан, они в точке пересечения делятся в отношении 2/1, начиная от вершины, поэтому в Вашей задаче даны 2/3 медиан, а сами медианы равны АМ=4√3/(2/3)=4√3/(3/2)=6√3/см/, аналогично вторая, ВN=6√3/(2/3)=6*3*√3/2=9√3/см/

Пусть ABCD – данный четырехугольник и АВ=СД,ВС=АД

Докажем что это параллелограмм

Проведем диагональ AC . Получившиеся треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам. Действительно, AB  =  CD , BC  =  AD по условию, а сторона AC – общая. Тогда угол BCA  =  углу CAD и угол BAC  =  углу ACD . Первые два угла являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC , а вторая пара – при прямых AB и CD и секущей AC . Из равенства внутренних накрест лежащих углов по теореме 3.2 следует параллельность соответствующих прямых, а именно: из равенства углов BCA и CAD следует параллельность прямых BC и AD , а из равенства углов BAC и ACD – параллельность прямых AB и CD . Тогда по определению четырехугольник ABCD – параллелограмм.см файл вложен правда рисунок неровный поймешь

 

Треугольники АОД и ВОС - подобны (все углы равны). Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:

к² =25/16

к = 5/4

Значит АО/ОС = ОД/ОВ = 5/4                  (1)

Воспользуемся формулой для площади тр-ка через две стороны и синус угла между ними (пусть угол АОД = углу ВОС = α):

S(АОД) = (1/2)*АО*ОД*sinα = 25

S(ВОС) = (1/2)*ВО*ОС*sinα = 16

Теперь из второго выразим ВО и ОС:

ВО = 32/(ОС*sinα);  ОС = 32/(ВО*sinα)      (2)

Эти формулы пригодятся при нахождении площадей тр-ов АОВ и СОД:

S(АОВ) = (1/2)*АО*ОВ*sin(π-α);   S(СОД) = (1/2)*ОД*ОС*sin(π-α)       (3)

Подставим (2) в (3) и учтем, что sin(π-α)=sinα :

S(АОВ) = 16*(АО/ОС);    S(СОД) = 16*(ОД/ОВ)

С учетом (1) получим что эти треугольники равновеликие и их площади равны:

S(АОВ) = S(СОД) = 16 *(5/4) = 20 см².

Площадь всей трапеции состоит из площадей 4-х треугольников:

S(АВСД) = 25 + 16 + 2*20 = 81 см²

ответ: 81 см².