Дано АС ПРИНАДЛЕЖИТ ВД РАВНО О. Алфа паралельна бэтта. А И в пересекают бюттта, д и с пересекают альфа, АВ равно дс , угол адс равен 65 градусов. Докажите что АВ паралельно СД. ​

1.
М - середина АВ, значит МВ = АВ/2
Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4

К - середина ВС, значит КС = ВС/2
Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4

N - середина АС, значит NA = АС/2
G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4

По условию
PB + EC + GA = 12
АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12
1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12
АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)

2.

Из решения первой задачи следует, что

АР = 3/4 АВ
ВЕ = 3/4 ВС
CG = 3/4 AC

По условию
AP + BE + CG = 108
3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108
3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108
АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)

Проведем АН⊥α и ВК⊥α. Тогда НК - проекция отрезка АВ на плоскость α.
АН и ВК параллельны, как перпендикуляры к одной плоскости, значит АВ и НК лежат в одной плоскости.
АВКН - прямоугольная трапеция.
Проведем высоту трапеции АМ.
НАМК - прямоугольник (АН║МК как перпендикуляры к одной плоскости, АМ║НК как перпендикуляры к одной прямой ВК).
Значит, МК = АН = 10 см, НК = АМ.
МВ = ВК - МК = 18 - 10 = 8 см
ΔАВМ: по теореме Пифагора
             АМ = √(АВ² - МВ²) = √(289 - 64) = √225 = 15 см
НК = АМ = 15 см
ответ: Б) 15 см