У трикутній призмі площа основи дорівнює 6 см2, аплощі бічних граней - 9 см2, 12 см2 і 15 см2. Знайдітьплощу повної поверхні призми.​

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Проведем высоту ромба РН через точку О пересечения диагоналей (центр ромба).
ВD=10, ВО=5, РН=DM=8, ОН=4.
НВ=3 (так как треугольник ОНВ - Пифагоров)
ОН - высота из прямого угла и делит гипотенузу так, что АН*НВ=ОН² (свойство).  Отсюда
АН=16/3=5и1/3. Тогда АВ=АН+НВ =5и1/3+3=8и1/3.
Или так: из треугольника DMB по Пифагору:
МВ=√(BD²-DM²)= √(100-64)=6.
AM²=AD²-DM² (по Пифагору). АМ=АВ-ВМ=АВ-6.
AD=АВ.  => (АВ-6)²=АВ²-64 => 12AB=100,
АВ=100/12 = 8 и 1/3.
ответ: сторона ромба равна 8и1/3 ед.

2.Площадь    треугольника S=(1/2)*a*h.
h=√(10²-6²)=8 (по Пифагору).
S= (1/2)*12*8=48ед².
r=S/p = 48/16= 3 ед. (р - полупериметр)
R=abc/4S = 10*10*12/192=6,25 ед.

1) AM=MC=16 см. Так как медиана делит противоположную сторону пополам (см рисунок)
Из треугольника АВМ по теореме косинусов:
 АВ²=АМ²+МВ²-2АМ·МВ·cos 120°
АВ=2√97, АМ=16, ВМ=х
Получаем уравнение:
4·97=16²+х²-2·16·х·(-1/2)
х²+16х-132=0
D=256+4·132=4(64+132)=4·196=(2·14)²=28²
x=(-16-28)/2<0      или      х=(-16+28)/2=12/2=6
ВМ=6
Из треугольника ВМС по теореме косинусов
ВС²=ВМ²+МС²-2ВМ·МС·cos 60°=6²+16²-2·6·16·(1/2)=196=14²
ВС=14
ответ. ВС=14- третья сторона треугольника равна 14 см

2) Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника:
АК: КС= АВ: ВС
значит
АВ:ВС=4:3
или
АВ=4х,  ВС=3х
По теореме косинусов из треугольника ВКС:
ВС=3х, КС=3, ∠ВКС=60°
ВС²=ВК²+КС²-2·ВК·КС·сos 60°
(3x)²=BK²+9-2·BK·3·(1/2)
9x²=BK²-3·BK+9                        ( * )
По теореме косинусов из треугольника AВК:
AВ=4х, AК=4, ∠ВКA=120°
AВ²=AК²+BK²-2·AК·BК·сos 120°
(4x)²=16+BK²-2·BK·4·(-1/2)
16·x²=BK²+4·BK+16              ( ** )
Решаем систему двух уравнений ( * )  и ( ** )с двумя неизвестными х и ВК
заменим х² в уравнении ( ** ) на выражение (BK²-3·BK+9)/9  из ( *):
16·(BK²-3·BK+9 )/9=BK²+4·BK+16  - умножим уравнение на 9
16·ВК² -48·ВК+16·9=9·ВК²+36·ВК+9·16
7·ВК²-84·ВК=0
7·ВК·(ВК-12)=0
ВК-12=0
ВК=12
ответ. биссетриса равна 12