Докажите что четырёхугольник abcd является ромбом, если а ( 2; 1; 2), в ( 0; 1; 6), с ( 2; 5; 6), d( 0; 5; 2)

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. признак параллелограмма: "если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм". определим координаты векторов ав и cd (противоположные стороны четырехугольника). чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. тогда вектор ав{0-2; 1-1; 6-2} или ав{-2; 0; 4}, а вектор cd{0-2; 5-5; 2-6} или cd{-2; 0; -4}. найдем модуль (длину) векторов ав и сd. длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат. |ab|=√(4+0+16)=√20. |cd|=√(4+0+16)=√20. итак, стороны ав и cd четырехугольника равны. рассмотрим противоположные стороны вс и аd. вектор вс{2; 4; 0}, а вектор ad{-2; 4; 0} |bc|=√(4+16+0)=√20. |ad|=√(4+16+0)=√20. итак, стороны вс и аd четырехугольника равны. так как противоположные стороны четырехугольника авсd попарно равны, это параллелограмм. но все четыре стороны этого параллелограмма равны. следовательно, это ромб. что и требовалось доказать. p.s. надо отметить, что в данных (координаты точек) есть ошибка. координаты точки с должны быть: с(-2; 5; 6)  а не с(2; 5; 6) два вектора коллинеарны (параллельны), если отношения их координат равны. если мы проверим вектора ав и cd (вс и ad) на параллельность с координатами, данными в условии,, то xab/xcd=1; zab/zcd=-1, то есть вектора не параллельны? при координатах а(2; 1; 2), в(0; 1; 6), с(-2; 5; 6), d(0; 5; 2). ab{-2; 0; 4}, cd{2; 0; -4} тогда отношение координат равно -1 и все хорошо, вектора параллельны. так же и с векторами вс и ad: вс{-2; 4; 0}, ad{-2; 4; 0}. отношение координат равно 1. все в порядке. стороны попарно равны и параллельны.

Ядля этой сделаю исключение. дело в том, что недавно возникла дискуссия о пользе теоремы чевы. а это - хороший пример, когда просто устная этой теореме. нужна . пусть есть произвольный треугольник abc, и на стороне ab выбрана точка a1 так, что отношение ba1/a1c - фиксированное число k. пусть на aa1 выбрана точка o, так что ao/oa1 - тоже заданное число m. легко видеть, что если построить две другие чевианы, проходящие через точку о, то отношения cb1/b1a = x и ca1/a1b = y будут однозначно определяться числами к и m, не зависимо от конкретного вида треугольника abc. в самом деле x + y = m (теорема ван обеля) ky/x = 1 (теорема чевы) то есть y = m/(k + 1); x = km/(k + 1); теперь - к этой . есть два треугольника - acm и bcm. для которых ch/hm = k одинаковое : ) ну просто потому, что это общая сторона. и кроме того ae/eh = bf/fh = m = 1; из следует cp/pa = cq/qb, что означает pq ii ab; это все решение. заметьте, что нигде не использовано, что cm - высота, и что h - ортоцентр. то есть условие будет работать вообще для любых чевиан, а не только для высот.

Дано: апофема а равна  25 см, высота н = 20 см.находим сторону а основания. а = 2√(25² - 20²) = 2√(625 - 400) = 2√225 = 2*15 = 30 см. периметр р основания равен: р = 4а = 4*30 = 120 см. площадь so основания равна: so = a² = 30² = 900 см². площадь sбок боковой поверхности правильной пирамиды равна: sбок = (1/2)ра = (1/2)*120*25 = 1500 см². площадь s полной поверхности пирамиды равна: s = sо + sбок = 900 + 1500 = 2400 см². объём v пирамиды равен: v = (1/3)soh = (1/3)*900*20 = 6000 см³.