На ребре A1B1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка K так, что A1K : KB1 = 3 : 1. Найдите угол между прямой AK и плоскостью BC1D1.

Не могу нарисовать рисунок, но попытаюсь объяснить.

Пусть имеется прямоугольный  треугольник ABC с гипотенузой AC и прямым углом при вершине В.

Пусть точка О – пересечение заданных биссектрис. Один из углов при О = 100 градусов

Вариант 1.

Расcмотрим треугольник ABO. Угол AOB=100, угол ABO=45 (потому что BO – биссектриса угла В, который 90 град)

Тогда угол BAO=180-100-45=35

Угол BAC вдвое больше BAO и равен 35*2=70.

Оставшийся уголACB =180-90-70=20.

Вариант 2.

(если вдруг возникнет иллюзия считать, что распределение углов при точке О другое – то есть 100 град = угол AOD, где точка В – точка пересечения биссектрисы из вершины B со стороной AC, То в таком случае:

Всё равно рассмотрим  треугольник ABO. Только угол AOB=180-100=80. угол ABO всё равно 45 (потому что BO – биссектриса угла В, который 90 град)

Тогда угол BAO=180-80-45=55.

Угол BAC в этом случае вдвое больше BAO и равен 55*2=110. И тут упс – сумма двух углов начального прямоугольного треугольника уже становится больше 180, а ведь есть ещё и третий угол. Поэтому распределение углов при точке О только такое, как в первом варианте решения. Второй вариант нежизне

DOA = 70°.   Дано в задаче.

BOC = DOA = 70°.  Вертикальные углы равны (1).

DOC = 180° - 70° - 110°.    Смежные углы в сумме дают 180° (2).

AOB = DOC = 110°.    (1).

ODC = (180° - 110°) / 2 = 35°.   Сумма углов треугольника равна 180° (3). Если треугольник равнобедренный, то углы при его основаниях равны (4).

ADO = 90° - 35° = 55°.     Два угла составляют прямой угол (5).

OAD = ADO = 55°.      (4).

OAB = 90° - 55° = 35°.       (5).

OBA = OAB = 35°.     (4).

OBC = 90° - 35° = 55°.      (5).

OCB = OBC = 55°.        (4).

Все остальные углы состоят из других и их можно посчитать по сумме. Например:

DAB = DAO + BAO = 55° + 35° = 90°.