С рисунком если задание требует)

Если отрезки пересекающихся медиан равны, то и медианы равны.

Если медианы треугольника равны, значит, треугольник равносторонний.

Применив теорему о том, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, найдем длину медиан:
ОА₁=√8, тогда АО=2√8, а АА₁=3√8.
АА₁=ВВ₁=СС₁=3√8=6√2.

В равностороннем треугольнике медиана является биссектрисой и высотой.
Найдем сторону АС через медиану ВВ₁ по формуле
ВВ₁=(АС√3)\2
6√2=(АС√3)\2
АС√3=12√2
АС=(12√2)\√3=4√6

Найдем площадь АВС
S=1\2 * AC * ВВ₁ = 1\2 * 4√6 * 6√2 = 2√6 * 6√2 = 12√12=24√3 (ед²)

Дано: Δ АВС, АВ=10, АА₁=9, ВВ₁=12.

Найти S(АВС), СС₁.

 

Применяем теорему: медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

 

Следовательно, АО=6, ОА₁=3;  ВО=8, ОВ₁=4.

 

Рассмотрим Δ АВО - прямоугольный, "египетский", (т.к. стороны кратны 3, 4 и 5).

S(ABO)=1\2 * 6 * 8=24 (ед²)

 

S(ABO)=S(BOC)=S(AOC) (по свойству медиан треугольника)

S(ABC)=24*3=72 (ед²)

 

Δ АОВ - прямоугольный, ОС₁ - медиана, ОС₁=1\2 АВ (по свойству медианы прямоугольного треугольника); ОС₁=5.

ОС₁=5*2=10;  СС₁=5+10=15 (ед)